Soit trois droites d, d' et T. Déterminer le lieu des foyers des coniques ayant les deux droites d et d' comme directrices et la droite T comme tangente (on peut s'intéresser au lieu d'un seul des deux foyers).

Pour expérimenter autour de cette question et achever la construction on aura besoin de :

Charger la macro CnkDFA1.mac qui construit une conique connaissant un foyer, la directrice associée et un point.

Cette solution suppose avoir déjà lu la construction de la page sur une question technique quant à l'intersection de cercles.

Observations expérimentales

Reprenons les notations : la tangente T coupe la directrice d en I, son symétrique T' par rapport à l'axe de symétrie des deux directrices (parallèle à celles-ci) est aussi tangente à la conique. Elle coupe la directrice d en J et la tangente T en K.   On a déjà observé que le lieu cherché semble être contenu dans le cercle circonscrit à IJK (isocèle en K). On peut prévoir que 4 point sont à exclure : les points I et J, le point K (la conique est un cercle-point), et le point diamétralement opposé à K : F en ce point aboutit à une hyperbole dont T et T' sont les asymptotes et non pas les tangentes. La figure PbBFL02c.fig ci-contre.

Le lieu est contenu dans le cercle

On raisonne sur la figure qui admet deux illustrations différentes : celle-ci dessus, et celle ci-contre, selon que F est au non dans la bande des directrices. On cherche à évaluer l'angle de droite (FI, FJ), pour tout point F différent de I et J, à partir de (FI, FJ) = (FI, FP) + (FP, FJ). Or (FI, FP) = (AI, AP) et (FP, FJ) = (A'P, A'J) (en angle de droite) car IKJ est isocèle en K. Or le premier terme est égal à (KI, KN) et le second à (KN, KJ). Cqfd comme on disait ...

Les points du cercle conviennent

On considère le cercle circonscrit à IJK. Notons O son centre. Soit alors un point F de ce cercle, autre que I, J, K et le symétrique de K par rapport à O. Alors les médiatrices de [FI] et [FJ] existent et ne sont pas parallèles aux droites (IK) et (JK) : soit U l'intersection de T avec la médiatrice de [FI] et V celle de T' avec la médiatrice de [FJ]. Les cercles de centre U passant par I et de centre V passant par J coupent respectivement T et T' en A et A'. Notons P l'intersection de d avec la perpendiculaire à d issue de A. P est sur le cercle de diamètre [AI]. Lancer la figure SolL02b.fig ci-dessus. La seule chose à montrer est que A, P et A' sont alignés. Pour cela, on va montrer que AKA' est isocèle en K, ce qui prouvera que A et A' ont même projection sur d. Et donc que la conique de foyer F de directrice d passant par A admet T pour tangente et d' pour seconde directrice (car passe aussi par A' et de tangente T').

La clé de notre preuve vient de ce que IJK est isocèle en K par construction. On va en déduire que pour tout point F, UI et VK sont de même longueur.

Supposons momentanément ce résultat acquis : UI = VK. On distinguera deux cas, selon que F est sur l'arc de cercle ne contenant pas K (dessin ci- dessus), et alors U et V sont extérieurs aux segments [IK] et [KJ], ou que F est sur cet arc (dessin ci-contre), et alors les points sont sur les côtés du triangle. De UI = VK, on tire UK = JV puisque IK = KJ, soit encore UK = VA'. Comme AU = UI = VK, il en résulte que AK = KA'. Ce qui achève la réciproque.

Montrons maintenant que dans les conditions données, on a bien UI = VK.

On se donne IJK isocèle en K et F un point de son cercle circonscrit. Les médiatrices de [FI] et [FJ] coupent respectivement (KI) et (KJ) en U et V.

La figure ExtL02a.fig ci-dessous pour observer la preuve dans le cas où F est sur l'autre arc d'extrémité I et J.

La droite (VF) coupe le cercle en M. Comme la médiatrice de [FJ] passe par O, elle est axe du cercle, donc VK = VM et KJ = MF. De la première égalité il en résulte que la médiatrice de FJ est aussi celle de [MK], donc que JKMF est un trapèze isocèle. De plus on tire de la seconde que IK = FM. Il en résulte que la symétrie par rapport à la médiatrice de [FK] envoie I en M, et donc la médiatrice de [IF] sur celle de [MK], c'est-à-dire sur celle de [FJ], et donc U sur V. Il en résulte que UI = MV = VK (ce que l'on voulait montrer) mais aussi que UOV est isocèle en O ainsi que d'autres propriétés si on prolonge les différents côtés [FI], [MK] ... On pourrait par exemple aussi remarquer que, dans le cas ou F est dans l'arc de cercle ne contenant pas K comme ci-dessus, (FK) est bissectrice de IFJ.