ࡱ> g ajbjb ]0]l<<<<<<<<, (<<<<<(<<<<<<<<<<<<<0 _=<Correction du devoir sur le thorme de Gauss : Les polygones constructibles Prliminaires : preuve des deux lemmes donns utiliser sans dmonstration P1. Soient P et Q deux polynmes unitaires de Q[X] tels que leur produit est dans Z[X]. On veut montrer qu'alors ils sont tous deux dans Z[X]. Soient u et v les ppcm des dnominateurs de P et Q, on peut crire uP = P1 et vQ = Q1 o P1 et Q1 sont dans Z[X]. Soit H = PQ. On a donc uvH = P1Q1. dd11d Soit p un diviseur premier de uv . Montrons que p divise soit tous les coefficients de P1 soit tous les coefficients de Q1. Notons . On raisonne par l'absurde : supposons que p ne puisse tre mis en facteur ni P1 dans ni dans Q1, alors il existe h le plus petit indice i tel que p ne divise pas bi et k le plus petit indice j tel que p ne divise pas cj. Comme p divise P1Q1, il divise chaque coefficient, en particulier celui en Xh+k qui est . Or le produit bi cj est divisible par p pour i < h ou j < k. Donc tous les termes sont divisibles par p sauf le terme en bhck. Comme la somme est divisible par p, il y a contradiction (par Gauss : un des deux bh ou ck serait divisible par p). ddx( On fait la mme chose pour tous les diviseurs premiers p de uv. Ils divisent soient tous les coefficients de P1 soit tous ceux de Q1 . On obtient donc deux nouveaux polynmes P2 et Q2 , coeffcients dans Z, tels que , avec u1v1 = uv. Ainsi, PQ = P2Q2. De plus ces deux polynmes sont unitaires puisqu' coeff dans Z et que P et Q le sont aussi. Il en rsulte que  . Or comme P et P2 sont unitaires, on doit avoir  = 1 et de mme pour Q, = 1. Autrement dit P = P2 et Q = Q2. Ainsi P et Q sont dans Z[X]. P2. On sait que si n est le degr du polynme minimal commun P de a et b sur K, K(a) et K(b) sont des K-ev de dim n, de base respective {1, a, a2, ..., an-1} et {1, b, b2, ..., bn-1}. Il en rsulte que l'application s : K(a) K(b) s(ak) = bk pour k < n est un isomorphisme d'espace vectoriel. Il faut voir que c'est un isomorphisme de corps. Pour cela il faut montrer : Que pour k e" n on a encore s(ak) = bk : cela se fait en effectuant la division euclidienne de Xk par P(X), le reste R tant de degr d" n-1 et R(a) = ak et R(b) = bk conduisent au rsultat. Que si x et y sont dans K(a), s(xy) = s(x) s(y), ce qui se fait en dcomposant sur la base, et en appliquant les proprits prcdentes de s. Partie 1 - Gnralits sur les polynmes cyclotomiques I.1. On trouve f1(X) = X-1 ; f2(X) = X+1 ; f3(X) = X2+X+1 ; f4(X) = X2+1. I.2. Soit montrer Xn - 1 = . Le polynme Xn - 1 est unitaire de degr n et n'a que des racines simples. Le polynme est aussi unitaire de degr . Or on sait que cette somme vaut n. De plus ce polynme n'a aussi que des racines simples. En effet, pour deux diviseurs d et d' diffrents de n les racines de fd(X) et fd'(X) sont ncessairement diffrentes, car d'ordre diffrents. On a donc deux polynmes unitaires, de mme degr, ayant tous les deux des racines simples, ces polynmes sont donc gaux. I.3. Il en rsulte un calcul par rcurrence des polynmes cyclotomiques : On divise Xn-1 par tous les diviseurs sauf le diviseurs le plus lev d, on en dduit fd(X) . Ainsi, on a par exemple f5(X) = X4+X3+X2+X+1, f6(X) = X2 - X +1, etc ... On en dduit aussi que, pour p premier fp(X) = Xp-1+Xp-2+ ... + X2+X+1. De mme, on a . ce qui aboutit (en introduisant un changement de variable Y = Xp pour utiliser le polynme prcdent)  = Xp(p-1) + Xp(p-2) + ... X + 1. I.4. Les polynmes fn(X) sont coefficients dans Z, par rcurrence. La proprit est vraie pour n = 1, on la suppose vraie pour tout d < n. On a Xn - 1 = fn(X) . Q o Q est un polynme unitaire . On a Q =  et donc Q est coefficient dans Z. Montrons qu'alors fn est coefficients dans Z. On crit fn(X) = Xh + ah-1Xh-1 + ... +a1X +a0. Si fn n'est pas coefficients dans Z, soit k l'indice le plus lev tel que ak Z. Alors on a l'galit : (Xn - 1) - Q(X).(Xh + ... + ak+1Xk+1) = Q(X).(akXk + ... +a1X +a0). Le membre de gauche est dans Z[X]. Celui de droite a pour coefficient de plus haut degr ak. D'o la contradiction. Ainsi par rcurrence, les polynmes cyclotomiques sont dans Z[X]. Partie II - fn(X) est le polynme minimal de toute racine nime primitive de l'unit. II.1. Soit w une racine primitive de l'unit. Elle est racine de Xn - 1. Soit f son polynme minimal, il divise Xn - 1. Il existe donc h(X) - priori de Q(X) - tel que Xn - 1 = f(X)h(X). Mais f est unitaire, donc h aussi, et d'aprs le lemme P1, f et h sont dans Z[X]. II.2. Soit p un nombre premier avec n, alors wp est aussi une racine nime primitive de l'unit. Soit g sont polynme minimal. Par le mme raisonnement qu'au II.1, il est dans Z[X]. On veut montrer que f = g. On raisonne par l'absurde en supposant f `" g. II.2.a. f et g comme polynmes minimaux d'lments algbriques sont irrductibles, donc premiers entre eux. Comme wp est racine de Xn - 1 , on a g | Xn - 1 , donc g | h (du II.1). Il existe donc k Z[X] tel que Xn - 1 =f(X)g(X)k(X). Mais g(wp) = 0, donc w est racine de g(Xp), autrement dit f(X) | g(Xp). Il existe donc l Z[X] tel que g(Xp) = f(X) l(X). II.2.b. En prenant les classes modulo p ( on sait alors que bp = b, par le petit thorme de Fermat), on a donc  et par consquent  avec . Si j(X) est un diviseur irrductible de dans Z/pZ[X], alors j(X) divise aussi  (par Gauss) et donc (j(X) )2 divise dans Z/pZ[X]. En drivant - les nombres premiers sont impairs ici, le cas p = 2 tant immdiat - on arrive j(X) divise nXn-1 qui est un polynme non nul car n et p sont premiers entre eux. Il en rsulte, j(X) tant irrductible, que j(X) = X, ce qui est impossible car X ne divise pas . Il y a donc contradiction partir de f `" g. On a donc f = g. II.3. On vient de montrer que, ds que n et p sont premiers entre eux, wp est racine de f . On veut montrer que toute racine nime primitive est racine de f. Soit u = wh avec h n = 1, une telle racine nime primitive de l'unit. En crivant h =  o les pi sont premiers non ncessairement distincts, raisonnons par rcurrence sur k. Si k = 1, c'est le cas de II.2. Supposons donc que soit racine de f. On lui fait jouer le mme rle que la racine primitive w aux tapes II.1 et II.2, et alors c'est--dire u est aussi racine de f. II.4. f est donc un polynme irrductible, unitaire, dont toutes les racines nime primitives de l'unit sont racines. Comme c'est le polynme minimal de l'une d'elle, il divise fn(X). Il lui est donc gal car ils sont tous deux unitaires et ont les mmes racines. Donc fn(X) est irrductible et c'est le polynme minimal de toute racine nme primitive de l'unit. Partie III. Conditions ncessaires pour tre un angle constructible. III.1. Si 2/mn est constructible, par report de symtrique, 2/m et 2/n le sont aussi. Rciproquement, si m et n sont premiers entre eux, par Bezout, il existe deux entiers a et b tels que an + bm =1, et 2/mn = a.2/m + b.2/n est donc constructible car on sait faire la somme algbrique de deux angles constructibles. Par rcurrence sur r, dans l'criture de n =  on est amen dterminer les angles constructibles de la forme 2/pa o p est un nombre premier. III.2. Soit donc 2/pa constructible. On note q = pa et w = cos 2/q + i sin 2/q. On sait que [Q(cos 2/q) : Q] = 2m par le rsultat de Wantzel. Par ailleurs w est une racine primitive qime de l'unit. Son polynme minimal (cyclotomique) est de degr j(q) = (p-1)pa-1. On a donc [Q(w) : Q] = (p-1)pa-1. D'autre part w + w-1 = 2 cos 2/q et ainsi cos 2/q Q(w), et w est racine du polynme X2 - 2cos 2/q X + 1, d'ou w est algbrique de degr 2 sur Q(cos 2/q). On a ainsi [Q(w) : Q] = [Q(w) : Q(cos 2/q) ] . [Q(cos 2/q) : Q], c'est--dire (p-1)pa-1 = 2m+1. Comme p est premier diffrent de 2, il en rsulte a = 1 et p = 2m+1 +1. III.3. Pour conclure que p est un nombre premier de Fermat, il suffit de montrer que m+1 est une puissance de 2. Ceci est vrai d'une manire gnrale : si 2k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2 (sinon 2m2a + 1 est divisible par 2m +1 par des arguments classiques). Partie IV. La condition ncessaire est suffisante. IV.1. Si p est premier, j(p) = p-1. Le polynme minimal de w - racine pme et donc primitive de l'unit - sur Q est de degr p-1, c'est mme prcisment Xp-1+Xp-2+ ... + X2+X+1 d'aprs I.3, donc K = Q(w) est bien de dim p sur Q avec {1, w, ..., wp-2} comme base. IV.2. Si g G, g est entirement dtermin par g(w). Or, par le polynme minimal, on a que donc et ainsi g(w) est aussi racine du polynme minimal de w. Donc la valeur prise par g(w) est l'une des racines w, ..., wp-1 de ce polynme, et, en utilisant le lemme donn, chaque gk dfini par gk(w) = wk fourni un tel automorphisme de corps. Il y a donc p-1 lments dans G, c'est--dire une puissance de 2 puisque p est un nombre premier de Fermat. IV.3. l'application y : G (Z/pZ)* dfinie par y(gk) =  est surjective, donc bijective par les cardinaux. Montrons que c'est aussi un morphisme. En effet si gk o gk' = gk", cela signifie que wkwk' =wk" et donc que wkk'-k" = 1 soit p |kk' - k" et donc . C'est donc un morphisme. y est donc un isomorphisme de groupe. Il en rsulte donc - puisque c'est le cas de (Z/pZ)* - que G est cyclique. On notera dans la suite g un gnrateur de G. IV.4. On a vu que {1, w, ..., wp-2} est une base de K sur Q, or comme wp-1 = - (1 + w + ... + wp-2), il en est de mme de {w, ..., wp-1}, cette base pouvant s'crire aussi, en rordonnant les termes, {gh(w) / 1 d" h d" p-1} = B ( on a gp-1= Id). IV.5. Ki Ki+1 car g2i+1 = (g2i)2. De plus comme g est gnrateur de G, g2n = Id soit Kn = K. IV.6. On a naturellement Q K0= { z K / g(z) = z}. Il faut montrer l'inclusion inverse. Soit donc z0 K0. Il s'crit dans la base B sous la forme z0 =  avec lk Q (g0(w)=w). On a g(z0 ) = . Or par hypothse g(z0 ) = z0 , il vient alors l0 = l1 = l2 = ... = lp-2. Et ainsi z0 = l0( w+ g(w) + .... + gp-2(w)) = l0( w + w2 + ...+ wp-1) = - l0 Q. On a donc Q = K0. IV.7. Montrons d'abord que l'inclusion K0  K1 est stricte. Soit z = w+ g2(w) + .... + g2n -2(w). D'une part g2(z) = z et donc z K1. D'autre part g(z) = g(w) + g3(w) + .... + g2n -1(w). De part l'unicit de l'criture sur la base B, on a g(z) `" z donc z K0. On montre de mme que l'inclusion Ki  Ki+1 stricte pour tout i. Pour cela on considre l'lment z = w+ g2i+1(w) + g2i+2(w) + ... + g2i+1 (2n-i+1 - 1)(w). On a alors g2i+1(z) = z tandis que g2i(z) `" z, ce qui prouve l'inclusion stricte Ki  Ki+1. IV.8. On note f = g2n-1. On a donc Kn-1 = {z K /f(z) = z}. Soit l tel que f(w) = wl. IV.8.a. Comme f2 = Id, on a w = f2(w) = f(wl)= wl2, par isomorphisme de corps, soit wl2-1= 1. Il en rsulte donc que p | l2 - 1, ou encore, dans Z/pZ que l2 = 1, et donc, puisque c'est un corps que l = 1 ou l = -1 dans Z/pZ (dans Z, on a 0 d" l d" p-1). Mais l = 1 est impossible car on aurait f = Id, ce qui n'est pas (car g est gnrateur, d'ordre 2n). On a donc l = -1, ou encore f(w) = w-1. IV.8.b. f(cos 2/p) = f[( w+w-1)] = [f(w) + f(w-1)] = ( w-1 + w) = cos 2/p. On a donc bien cos 2/p Kn-1. De plus Q(cos 2/p) Kn-1  Kn = K. IV.8.c. Par ailleurs cos 2/p = ( w-1 + w) s'crit aussi w2 - 2wcos 2/p + 1 = 0 et donc w est algbrique de degr 2 sur Q(cos 2/p), soit [K : Q(cos 2/p) ] = 2. Donc [K: Kn-1] = 2 car infrieur ou gal 2 et diffrent de 1 cause des inclusions strictes Ki  Ki+1 . Il en rsulte, par des arguments de degrs - ou de dimension d'espaces vectoriels - que Kn-1 = Q(cos 2/p). IV.9. On a Q = K0 K1 ... Kn-1 Kn = K = Q(w). Pour les degrs d'extensions, on peut aussi crire 2n = p - 1 = [Kn : Q] = [Kn : Kn-1].[Kn-1 : Kn-2] ... [K1 : K0]. On a ainsi n termes entiers, tous diffrents de 1, car les inclusions sont strictes, et de produit 2n . Il en rsulte que chaque terme est gal 2, et on est donc en prsence d'une tour d'extension quadratique (TEQ). C'est en particulier vrai jusqu' n-1 : Q = K0 K1 ... Kn-1 = Q(cos 2/p) est une TEQ, ce qui prouve que cos 2/p est un nombre constructible, c'est--dire l'angle 2/p est constructible la rgle et au compas, et donc le polygne rgulier associ aussi. Les parties III et IV se rsument en le thorme de Gauss rappel en dbut de devoir. MPvw./efxyz{= > ? @   f h t v jEHU jEHUCJEH jEHU6OJQJCJEH5 CJ0OJQJR1NOP- |^N<  $ P R @Bj*l*******H+J+++--N0P0f1h1B2D288DD&D(DTGVGHH@NBNNNHPJPPRRRSSWWXXXXX>Y@Y [[aM   P R 02BHbdtz8\68<>HJ.0HL"8:<XZ\xz|CJEHOJQJ6OJQJCJEH5OJQJ j EHU jzEHUCJEH j EHUO(*,:<@Z\246DFJLPR^`bpr@B".6B`jrt j(EHU j%EHUCJ jv EHUCJEHOJQJCJEHOJQJ jEHU jEHU jEHUCJEH5Htvx      & ' ( ) * 2 3 7 8 """`"b"j""""""##z#|###$$%%%D%L%&&'''''''D(H(d(f(( 5CJEH 5CJEH 5OJQJ5EHCJEHOJQJCJEHOJQJCJEHR< ""$&()^.2n5p5r55589;X=">@@@JALAbCF ((((((())B)F)f)h)))**j*l*********"+$+H+J+x+z+++++r,t,,,6-8-r-t---^.j....@/J/\/d///////0N0P0b0d0f1h1 jPKEHUCJEH jGEHU6 jDEHU j~@EHU j<EHU j9EHU j 5EHU j0EHU j,EHU5CJEHOJQJDh111B2D222,343333444:5@5r555688n9p99999::: :::::&;.;;;;;;;; <<<0<4<:<<<@<B<<<<<<<<<<=v=x=== > >>>>>>>>>>??`@d@CJEHOJQJ jREHUCJEHCJEH5 jNEHUOJQJSd@f@@@@JALAXA~AAAAAAAB"B$BBBBBBBBB.C0C>C@CFCbCnCxC|CCCDD&D(D>D@DDDDDEEEEEEEEEEEEEEEFFF GGGGDGFGJGLGTGVG$H(H*H.H2H:H>HfHCJ j\EHUCJEH jXEHU jTEHU6OJQJ5CJEHCJ EH RfHhHjHlHnHtHvHzHHHHHHIIIIVJdJJJJJJJJJKKKKKNKPK^K`KfKKKKKLL,L2LBLNLPLRLTLXLZL`LpLrLzLLLLLLLLLLLMMQ@QBQZQ\Q^Q`QdQfQhQQQQQQQLRNRPRRRTRVR\R^RlRRRRRRRRRRRRRSSSS"S,S6S8S:SZS\SbSSSSSSSSSSSSSS T$T&T,TFTNTZT\TTT5 jrEHU6 joEHU 5OJQJCJEH CJEHOJQJCJEHTTTTTTTTTTTTTTTTTUU UUUUU\U^U`UbUfUUUUUUU@VBVRVTVVVVVnWpWWWWWWWWWWWWXXXX XXXX X,X.X2XXBXDXJXNXPXXXXXXXCJEH j|EHU j(yEHU juEHUCJ EH OJQJCJEH5CJEHOJQJOJQJOXXXXXXXX Y>Y@YDYFYLYPYRYtYvYxYYYYY\ZbZ[ [ [[[[[[[[\\\ \"\$\&\*\2\6\8\@\D\F\H\Z\\\\\\\\\] ]]]"](]8]:]B]D]^^\_`_d_f_h_j_n_v_z_|__`aa6 jTEHUCJEHCJEHOJQJ jEHU5OJQJ jEHUCJEHRaa/ 0Ph. 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Couleurs NTSCq8BFM8BIM 8BIMkind8BFM8BIMname Couleurs NTSC8BIMcatgVido8BIMvers8BIMprty8BIMmode8BIMhost8BIM8BIMpwpc 8BIMm68k8BFM>8BIMfici8BIMhstmFltrNTSC8BIMtrmnN PhotoshopPHTO couleurs NTSCFltrNTSCnull#ImR_8.CristallisationqF8BFM8BIM 8BIMkind8BFM8BIMnameCristallisation8BIMcatg Pixellisation8BIMvers8BIMprty8BIMmodeY8BIMhost8BIM8BIMpwpc 8BIMm68k8BFM>8BIMfici8BIMhstmFltrCrst8BIMtrmnd PhotoshopPHTOcristallisationFltrCrstnull#ImRmailleClSzlong.Demi-teintes couleurq>8BFM8BIM 8BIMkind8BFM8BIMvers8BIMnameDemi-teintes couleur8BIMcatg Pixellisation8BIMpwpc 8BIMm68k8BFM>8BIMmodeY@8BIMfici8BIMhstmFltrClrH8BIMtrmn PhotoshopPHTOdemi-teintes couleurFltrClrHnull#ImRrayonRds longcouche 1Ang1longcouche 2Ang2longcouche 3Ang3longcouche 4Ang4long .DsentrelacementqJ8BFM8BIM 8BIMkind8BFM8BIMnameDsentrelacement...8BIMcatgVido8BIMvers8BIMprty8BIMmodeP@8BIMhost 8BIMpwpc 8BIMm68k8BFM>8BIMfici8BIMhstmFltrDntr8BIMtrmn ՜.+,D՜.+,` hp  'IUFMtiU0 1Correction du devoir sur le thorme de Gauss : Titre 6> _PID_GUID'AN{7D467A00-5BD8-11D2-A9D6-957AA1C7BDF7}8BIMtrmnB PhotoshopPHTO extrusionFltrExtrnull#ImRlongueurExtSlong profondeurExtDlongfaces frontales opaquesExtFboolmasquage terminaison superfluesExtMboolformeExtTExtT alatoireExtRExtR ExtTcubesBlks pyramidesPyrmExtR alatoireRndmfonction luminositLvlBBf. Flou optimisq8BFM8BIM$ 8BIMkind8BFM8BIMnameFlou optimis...8BIMcatg Attnuation8BIMvers8BIMm68k8BFM>8BIMpwpc 8BIMmodeQ8BIMfici8BIMhstmFltrSmrB8BIMtrmn PhotoshopPHTO flou optimisFltrSmrBnull#ImRrayonRds doubseuilThshdoubqualitSmBQSmBQ modeSmBMSmBM SmBQrduiteSBQLmoyenneSBQM suprieureSBQHSmBMnormalSBMN contour seulSBMEmasquage du contourSBMO . Flou radialq8BFM8BIM 8BIMkind8BFM8BIMname Flou radial8BIMcatg Attnuation8BIMvers8BIMprty8BIMmodeY8BIMhost8BIM8BIMpwpc 8BIMm68k8BFM>8BIMfici8BIMhstmFltrRdlB8BIMtrmn PhotoshopPHTO flou radialFltrRdlBnull#ImRvaleurAmntlongmodeBlrMBlrM qualitBlrQBlrQ BlrMrotationSpn zoomZm BlrQ brouillonDrftnormaleGd suprieureBst ?L.Haloq8BFM8BIM 8BIMkind8BFM8BIMnameHalo...8BIMcatgRendu8BIMvers8BIMprty8BIMmode8BIMhost8BIM8BIMpwpc 8BIMm68k8BFM>8BIMfici8BIMhstmFltrLnsF8BIMtrmn PhotoshopPHTOhaloFltrLnsFnull#ImR luminositBrghlong centre sourceFlrCPnt objectifLns Lns Lns 50-300 mm (zoom)Zm PanaVisionPnVs 35 mm normalNkn 105 mm normalNkn1. Mezzo-tintoq8BFM8BIMp 8BIMkind8BFM8BIMnameMezzo-tinto...8BIMcatg Pixellisation8BIMvers8BIMprty8BIMmodeY8BIMhost8BIM8BIMpwpc 8BIMm68k8BFM>8BIMfici8BIMhstmFltrMztn8BIMtrmn2 PhotoshopPHTO mezzo-tintoFltrMztnnull#ImRtypeMztTMztT MztT points finsFnDt points moyensMdmDpoints granuleuxGrnD points grosCrsDlignes courtesShrLlignes moyennesMdmLlignes longuesLngL traits courtsShSt traits moyensMdmS traits longsLngSJ.Nuagesq98BFM8BIM 8BIMkind8BFM8BIMnameNuages8BIMcatgRendu8BIMvers8BIMprty8BIMmode_8BIMhost 8BIMm68k8BFM>8BIMpwpcPLAIN_CLOUDS_ENTRY8BIMfici  8BIMhstmFltrClds8BIMtrmnF PhotoshopPHTOnuagesFltrCldsnull#ImR 8BIMkind8BFM8BIMnameNuages par diffrence8BIMcatgRendu8BIMvers8BIMprty8BIMmode_8BIMhost 8BIMm68k8BFMBh8BIMpwpc DIFFERENCE_CLOUDS_ENTRY8BIMfici8BIMhstmFltrDfrC8BIMtrmnR PhotoshopPHTOnuages diffrenceFltrDfrCnull#ImR. Pointillismeq8BFM8BIM  !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~Root Entrym۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶m F۶mm۶mJm۶Data۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm ۶m۶mm۶mmm۶mm۶۶mm۶mm۶EW۶m1Table۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶m۶m۶mmm۶mm۶mm۶۶mm۶mmmWordDocumentmm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶m۶mmmmm۶۶mm۶mm۶۶mm۶SummaryInformation۶mm۶mm۶mm۶mm(۶m۶mm۶mmm۶mm۶۶mm۶mm۶۶mDocumentSummaryInformation۶mm۶8m۶m۶mmm۶mm۶mm۶۶mm۶mmmCompObj۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶m۶mmmmm۶Xm۶ObjectPool۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶mm۶m۶m FDocument Microsoft WordNB6WWord.Document.8 Contractionb8BFM8BIM 8BIMkind8BFM8BIMname Contraction8BIMcatg Dformation8BIMvers8BIMprty8BIMmodeY8BIMhost8BIM8BIMpwpc 8BIMm68k8BFM>8BIMfici   8BIMhstmFltrPnch8BIMtrmn` PhotoshopPHTO contractionFltrPnchnull#ImRvaleurAmnt