ࡱ> PROg H=jbjb X]<(,````````*,,,,,,,g [ VXA`````Xl```lll```*""`*ll**T y=2:* Polynmes Cyclotomiques Thorme de Gauss Le but du devoir est de dmontrer le thorme de Gauss sur la constructibilit la rgle et au compas des polygones rguliers : Les polygones rguliers constructibles sont ceux dont le nombre de cts n est de la forme, soit 26 AI7 8BIMpsCB AICBEPS EPSFd  j H > #&*.26:?CHMRW\bgmsy a (a e" 2) soit 2ap1p2...pr avec a e" 0 et les pi des nombres premiers de Fermat distincts. Pour cela on utilisera la caractrisation des nombres constructibles sur la base d'une tour d'extensions quadratiques : Soit t un rel. t est constructible ssi il existe un entier p non nul, et une suite de sous-corps de R, L1, L2, .., Lp tels que : (i) L1 = Q (ii) pour 1 d" j d" p-1, Lj  Lj+1 et [Lj+1 : Lj] = 2. (iii) t Lp. En particulier si un nombre w est construtible, le degr de l'extension associe, [Q(w) : Q] est une puissance de 2. Dfinitions pralables et rappels 1. Racines nimede l'unit Ce sont les racines, dans C du polynmes Xn - 1 dont on sait qu'il possde les n racines  (pour k = 0 ... n-1). Elles forment un groupe cyclique Un engendr par w1. La racine nime de l'unit wk est un gnrateur de Un ssi k n =1. On dit alors que wk est une racine nime primitive de l'unit. Il y a donc j(n) racines nime primitives de l'unit, o j est l'indicateur d'Euler. 2. Polynmes cyclotomiques Pour ne"1, on note Fn(X) le polynme unitaire de C[X] dont les racines sont les racines nime primitives de l'unit. Fn est appel le n polynome cyclotomique. Il est donc de degr j(n). Dans ce texte, le terme polynme minimal contient le terme unitaire. Le degr du polynome minimal d'un nombre algbrique w est aussi le degr de l'extension Q(w) sur Q. Partie I. Gnralits sur les polynomes Fn(X). I.1. Calculer, partir de la dfinition, les polynmes Fn pour 1 d" n d" 4. I.2. Montrer que Xn - 1 = . Indication : On peut utiliser la relation connue n = . On peut aussi oprer autrement, cette relation en devenant alors une consquence immdiate. I.2. Pour p premier, aprs avoir calcul Fp , calculer Fp2. On remarquera que la relation I.2 permet un calcul par rcurrence de Fn(X). Complment "culturel" On constatera que pour ces valeurs particulires de n, le polynme Fn est coefficients dans Z. On notera plus prcisment que les coefficients de ces polynmes sont uniquement 0, 1 ou -1. On peut se demander si c'est toujours le cas. La rponse est non, mais la plus petite valeur de n qui convient comme contre exemple est n = 105. I.3. Montrer, par rcurrence sur n, que les polynmes Fn sont coefficients dans Z. Partie II. Irrductibilit sur Q des polynomes Fn. On se propose de montrer que Fn est le polynme minimal sur Q de toute racine nime primitive de l'unit. Et en consquence Fn sera irrductible. Dans cette partie, on pourra utiliser sans dmonstration le lemme suivant : Lemme : si P et Q sont deux polynmes unitaires de Q[X], et que leur produit PQ est un polynme de Z[X], alors P et Q sont tous deux dans Z[X]. II.1. Soit w une racine nime primitive de l'unit, et f son polynme minimal sur Q. Justifier que f est lment de Z[X]. Soit p un nombre premier avec n, alors wp est aussi une racine nime primitive de l'unit. Soit g son polynme minimal. Comme ci-dessus, g Z[X]. On veut montrer que wp est une racine de f. Pour cela, il suffit de voir que f = g. II.2. On raisonne par l'absurde en supposant que f `" g. II.2.a. Montrer alors que f(x) divise g(Xp) dans Z[X]. II.2.b. En prenant les classes modulo p, montrer que , si j(X) est un diviseur irrductible de  dans , son carr divise Xn -  dans . II.2.c. Conclure une contradiction en drivant (au sens polynomial). Donc f = g. On vient donc de montrer que si p n = 1, wp est aussi racine de f. II.3. Soit u = wh avec h n = 1, une racine nime primitive de l'unit. En dcomposant h en facteurs premiers, montrer que u est elle aussi une racine de f. II.4. Conclure au thorme nonc. Partie III. Conditions ncssaires pour tre un angle constructible. Rappel : Un angle est dit constructible si son cosinus l'est. III.1. Montrer que pour m |}~ n = 1 l'angle 2/mn est constructible ssi les angles 2/m et 2/n le sont. En dduire que, pour n e" 3, n = , le polygone rgulier n cts est constructible ssi les angles 2/ le sont. On s'intresse donc dsormais aux angles 2/pa o p est un nombre premier impair (le cas p=2 tant trivial). Soit alors p un nombre premier impair tel que, si on note q = pa, l'angle 2/q soit constructible. On pose w = cos 2/q + i sin 2/q. III.2. Montrer que [Q(w) : Q(cos 2/q)] = 2. En dduire, par les rsultats du II, que l'exposant a est gal 1 et que p est de la forme 2k + 1. III.3. En dduire que si un angle 2/pa, o p est un nombre premier impair, est constructible, alors a = 1, et p est un nombre premier de Fermat (p = 1 + 22k). Partie IV. La condition ncessaire est suffisante la question IV.2, on pourra utiliser sans dmonstration le rsultat suivant : Soit L une extension d'un corps K et a et b deux lments de L, algbriques sur K et de mme polynme minimal sur K. Alors il existe un isomorphisme de corps ZXCELFRA6MSIEtĶmmmm Pf>߰N# O\:0 O Q PflN ’ڶmmmm>pX# |mmmmNX#@:0NF>aVMSIEttxtMWIInotzGVCiprfcMOs, de K(a) sur K(b), laissant K invariant et tel que s(a) = b. Soit p = 1 + 2n, un nombre premier de Fermat (n est une puissance de 2 - c.f. III.3 - mais cela ne servira pas ici). On pose w = cos 2/p + i sin 2/p, et K = Q(w). IV.1. Justifier que {1, w, ..., wp-2} est une base de K considr comme Q-ev. IV.2. On note G le groupe des automorphismes de K. Soit gG. Montrer que g(w) est un lment de{w, w2, ..., wp-1}, puis, en utilisant le rsultat nonc ci-dessus, que les gk, dfinis par gk(w) = wk sont de tels automorphismes. Quel est le cardinal de G ? IV.3. Montrer que l'application G (Z/pZ)* : gk  est un isomorphisme de groupe. En dduire qu'il existe un lment g de G tel que G = {gh / 1 d" h d" p-1}. IV.4. Montrer que {gh(w) / 1 d" h d" p-1} est aussi une base de K sur Q. l'issue de cette premire partie, on dispose d'un groupe cyclique d'ordre une puissance de 2. Avec son gnrateur g, on va construire une suite de sous-groupes emboits auxquels - par les invariants - on va faire correspondre une suite de sous-corps emboits. C'est partir de cette suite de sous-corps que l'on va construire une tour d'extenstons quadratiques jusqu' cos 2/p. On note donc, pour 1 d" i d" n, Gi = < g2i > le sous groupe de G engendr par g2i. On pose Go = G, on a Gn = {Id}. cette suite de sous-groupes, on associe une suite de sous corps Ki = { z K / g2i(z) = z}. IV.5. Montrer que Ki Ki+1. En dduire l'inclusion K0 K1 ... Kn-1 Kn = K. IV.6. En utilisant la base du IV.4, montrer que K0 = Q. IV.7. En donnant un lment z de K tel que g(z) `" z et g2(z) = z, montrer que l'inclusion K0 K1 est stricte. (Considrer par exemple z = w + g2(w) + g4(w) + ... + g2n-2(w)) Justifier de mme que Ki Ki+1 est elle aussi stricte pour tout i. (z = w + g2i+1(w) + ...) IV.8. On pose f = g2n-1, soit Kn-1 = {z K /f(z) = z}, et f(w) = wl. IV.8.a. Montrer que p | l2 - 1. En dduire que f(w) = w-1. IV.8.b. Dduire de 8.a. que cos 2/p Kn-1. IV.8.c. Calculer [K : Q(cos 2/p)] (c.f. III.2). En dduire que Kn-1 = Q(cos 2/p). IV.9. En utilisant IV.7, montrer que la suite Q = K0 K1 ... Kn-1 est une tour d'extension quadratique. Conclure alors au thorme de Gauss.  9:; "$&(*24@B\^vx|~      $ & , 2 4 6 P Z b d f h j OJQJ jEHUCJEH 5OJQJ5 6CJEH 6OJQJ6CJEHOJQJ6CJ9CJ@OJQJ9CJ0OJQJ CJ$OJQJ CJ0OJQJD     (:;<=>n p ^ ` b $$  *,  2 4 @ B $$j%l%00H=  b   4 6  ( * , H P h j l    $ V X t | "HJL&LNPZ\f 5CJEH 5OJQJCJEHOJQJ jEHUCJEH 6CJEH65OJQJR 0 ",Z\2Z\tvJL(*$*,.2Z\fdfhtx024fhJLV08@p&(tv~(*lý 6CJEH 5CJEH 5OJQJ 6CJEH 6OJQJCJ EHCJEHOJQJ jEHU656 jEHUCJEH5H*,.0Z\|~NP0F !!`"a""""$lnpLP\$&2@  * , 2 4 @ B H X !L!N!R!!!!!!!!!!!!!a"g"""" ##$$P$V$$$D%J%j% jEHU j EHU j* U jg EHU jEHUCJEH56 6CJEH 6OJQJ65OJQJK" # #%%j'l'()))**m*n*,,,--p.p01@2B2B5D5667$j%l%%%%&&4'6'j'l'x'''''''.(0(((((((X)Z)))))**m*n*o*,,j,l,,,--------.....d.f.p.|...//0/2/6/8/:/H/J/P////////CJEHCJ EH CJEHOJQJCJEHOJQJ5 6OJQJ6CJEHOJQJ6 jEHUN///p0|0000000011111111:2<2D2B5555555555566666666666777777R7V7Z7\7^7`7d7l7p7r7z7~77777777778n8p88888888999 9"9$9.90929CJEH 6 j^UCJEH5CJEHOJQJZ77\9::;z;$<H=$2949J9L9N9R9T9V9999999999999::::$:>:@:F:V:^:j:l::::::::::: ; ;;;; ;0;j;l;p;v;|;;;;;< < <$<0<<<<<<<<<<<<<<F=H=CJEHOJQJCJEH 5CJ EH 6CJEHCJ EH CJEHOJQJM/ 0Ph. A!"#$%55 |HH549FG{HH(d'h %"Gergonne et Euler%+Fig M7.14 - A3 OctaTronq?%3# PBIntro1.fig%;7EquerreLosange%Gg%NY2a.1x^4 b8DdT<  C ABlw!~7RiDD Tlw!~7Ri |\Kx== @DdžHb"v"X؋bQ;ZnoYk Í!mʦTꄰ7cWmtLu(̯"4G?PAۭ:엳"p RIJsRgAZc8( Dd4,<  C ABrv I\D TTrv If)$"x}1OP=[ .%a!vwgJ[]?Ou`q!{mJl:sy_b!nKwl1^ZC>O(Ȍ]8 *T饪Ja ׺zYGEc4ۆs-uN E1Zf 7~fr7nNaj1ҥ_TZK ~; Ǒ`u̬zfj!) Lr^S+3̽Nإ&(x㴌v$Dd <  C ABpzy=^\QDFpD Thpzy=^\QDFU(`6xuN@t@h ć0qinh,?ZOҕn;K5 5zq=ahC&c0VՀhlns6Oо)T 9X VM4?dK 8û4Im\9ncq8&" 6ʰMMIrM'.)xqa,PA, gMp^ì2ʱ*>:E]{៩yQ:MjWw9l¥&y*W*Q\2.Cyy$x"e;! 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