Approximation à l'ordre 1 - Méthode d'Euler

 

L'idée générale utilisée dans ces pages sur la Cabri-intégration des équation différentielle a été présentée par Dominique Tournès dans la version papier d'abraCAdaBRI (n°5 - Sept-Oct 1994) dont un extrait est rappelé en fin de page : les macros de Cabri nous permettent d'appliquer une méthode d'approximation donnée avec un pas suffisament petit pour que la construction graphique soit pertinente et permettent en partticulier de proposer des manipulations à des étudiants orientées vers des activités de conjecture. Dans ce dossier, les illustrations sont proposées sur deux exemples : l'équation de Riccati et une équation proposée par Euler. Les deux ne sont pas intégrables à partir des fonctions élémentaires.

Le principe - Première itération

La méthode d'Euler, sur une équation d'ordre 1 de type y' = f(x, y), consiste à prendre localement, en t₀+h, pour approximation de y(t₀+h), la valeur y(t₀) + hy'(t₀). Autrement dit, localement on approxime la courbe par sa tangente.

Iter1R.fig ou Iter1R.mac

 

Iter1E.fig ou Iter1E.mac

Itérations successives

Il est intéressant d'observer la précision gagnée par l'augmentation du nombre de subdivision pour aller d'une condition initiale à un un point donné. On se limitera dans la suite à 16 pas, le passage à 32 n'ajouterait pas beaucuop en précision par rapport au doublement des construction : il faut choisir un bon compromis entre la précision et la fluidité de la fiure finale. Dans utilisation en TP de cette figure et de la suivante, plusieurs observations peuvent être faites sur le premier point d'approximation dans chaque subdivion : par exemple, on passe d'un point à un autre par une homothétie centrée en la condition initiale. Iter16E.fig ci-contre Iter16E.mac qui donne seulement le dernier point de la construction à 16 pas.

 

Iter16R.fig ou Iter16R.mac (donnant le point final de la subdivision à 16 pas)

 

Utilisation effective : la méthode d'Euler-Cauchy

Dans les pages suivantes (équation de Riccati et Exemple d'Euler), nous allons faire le lieu du point obtenu avec la macro précédente, en 16 subdivisions quand x parcours un segment. Partis de la méthode d'Euler - lignes polygonales - qui nous a servi à construire ce point, nous passons à la méthode de Cauchy qui est de construire non pas une approximation C¹ par morceau mais bien une approximation interne à l'ensemble des solutions, c'est-à-dire une fonction .

Voici ce qu'écrivait à ce sujet Dominique Tournès, historien des mathématiques, spécialiste des équations différentielles, lors de sa mise en pratique de la méthode d'Euler-Cauchy avec Cabri en 1994 :

Pour approcher une courbe intégrale sur tout un intervalle [x₀, x₁], la plupart des traités actuels proposent de construire la ligne polygonale issue d'un partage de l'intervalle [x₀, x₁] en n parties égales et obtiennent ainsi une fonction continue affine par morceaux, utilisée ensuite pour approcher la solution en tout point x de l'intervalle. Ce n'est pourtant pas du tout cette idée que Cauchy avait à l'esprit en 1824, si on lit attentivement son Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique. Pour Cauchy, la construction précédente ne doit pas seulement être effectuée pour l'extrémité x₁, mais bien en chaque point x. La courbe intégrale approchée n'est plus alors une simple ligne polygonale de classe C¹ par morceaux, mais une courbe parfaitement régulière de même classe que f [ici de classe ]. On conçoit que par souci pratique d'économie, on se contente d'habitude d'un seul calcul numérique ou d'une seule construction graphique. Avec Cabri, cette limitation n'a plus de sens. Prenons x point sur objet de l'axe des abscisses, et construisons comme ci-dessus la ligne polygonale issue de la condition initiale pour un partage en 16 de l'intervalle [x₀, x]. Effaçons la ligne polygonale à l'exception de son extrémité : il nous reste le point générique de la courbe intégrale approchée issue de la condition initiale. Demandons le lieu de ce point quand x décrit l'axe des abscisses. Nous obtenons la courbe intégrale approchée imaginée par Cauchy. N'ayons pas peur des mots :

Cabri permet de retrouver la vérité historique de la méthode d'Euler-Cauchy.

L'article de Dominique Tournès EDOdt.pdf (70 Ko)

Menu général