E désigne un plan vectoriel euclidien et l'ensemble des vecteurs unitaires (de norme 1) de E.

Angles orientés de deux vecteurs unitaires

Propriété des rotations : Soient et deux vecteurs unitaires, il existe une unique rotation r telle que r() = .

Conséquence : est une relation d'équivalence dans l'ensemble .

Définition : L'angle orienté du couple est la classe d'équivalence de pour la relation , notée encore . On note l'ensemble des angles orientés.

Définition : L'angle d'une rotation r est l'angle pour un vecteur unitaire quelconque. On notera r_a la rotation d'angle a.

Angles orientés de deux vecteurs non nuls ou de deux demi-droites

Soient et deux vecteurs non nuls, d = R₊ et d'= R₊ les demi-droites vectorielles qu'ils engendrent, on définit les angles orientés de ces vecteurs ou de ces demi-droites par :

Transport de structure sur

L'application qui à un angle a associe l'unique rotation r_a d'angle a est une bijection.

(, +) est muni d'une structure de groupe par transfert de structure :

a+b est l'angle tel que r_a+b = r_a o r_b.

-a est l'angle tel que r_-a = r_a^-1.

0 est l'angle tel que r₀ = Id_E.

Théorème (, +) est un groupe commutatif, isomorphe à (O⁺(E), o)

Vocabulaire

angle plat p = angle de la rotation - Id_E.

angles droits d et -d = angles des deux rotations ayant pour matrice dans un base orthonormée.

Propriétés des angles orientés de vecteurs unitaires

 

Les rotations conservent les angles orientés, les réflexions les changent en leurs opposés.

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