Le théorème des 5 cercles de Miquel

Exercice utilisant la cocyclicité

[Retour Exercices] [Retour Angle/Cocyclicité] [Retour Géométrie 2D]

À partir d'un cercle C (gamma), on construit 5 cercles C_i,dont les centres sont sur C, et tel que C_i et C_i+1 soient aussi sécants en un point de C, ainsi que C₅ et C₁ : ainsi, ci-contre C₁ est de centre A passant par I, C₂ de centre B passant aussi par I, A, B et I étant sur G, etc. On notera dans la suite un cercle par son centre : C_A ... etc.

(JL) recoupe C_A et C_C en U et V. (LM) recoupe C_B et C_D en X et Y.

Théorème de Miquel :

Alors (PN) passe par V, (RP) par U et Y. De même si (PN) coupe C_E en W alors (RJ) passe par X et W : on a ainsi un petangone (irrégulier) UVWXY.

Miquel01.fig

Pour montrer ce résultat, on se propose, sur la base de Cabri-obervations, on se propose de dégager les propriétés suivantes :

Q1. Montrer que si A, B, C, I sont sur un cercle Gamma, en notant J, K, L, M les intersections comme ci-contre (I, K, M sur Gamma) alors les points A, J, K sont alignés.

Remarque : et alors I, L, C d'une part et B, L, M d'autre part sont eux aussi alignés.

Miquel02.fig

Q2.(JL) recoupe C_A et C_Cen U et V. Montrer que A, M, U sont alignés. Par exemple en évaluant l'angle , on peut être plus précis et montrer que U est extérieur à [AM].

Remarque : de même Q, C, V sont alignés.

Miquel03.fig

Q3.Conclure au théorème de Miquel sur l'existence du pentagone UVWXY sur les cercles initiaux.

Pour une solution trigonométrique, voir par exemple :

http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/MiquelFiveCirclesTheorem.html

[Retour Exercices] [Retour Angle/Cocyclicité] [Retour Géométrie 2D]

(JL) recoupe CA et CC en U et V. (LM) recoupe CB et CD en X et Y.

Théorème de Miquel :

Alors (PN) passe par V, (RP) par U et Y. De même si (PN) coupe CE en W alors (RJ) passe par X et W : on a ainsi un petangone (irrégulier) UVWXY.

Pour montrer ce résultat, on se propose, sur la base de Cabri-obervations, on se propose de dégager les propriétés suivantes :

Q1. Montrer que si A, B, C, I sont sur un cercle Gamma, en notant J, K, L, M les intersections comme ci-contre (I, K, M sur Gamma) alors les points A, J, K sont alignés.

Remarque : et alors I, L, C d'une part et B, L, M d'autre part sont eux aussi alignés.

Q2.(JL) recoupe CA et CC en U et V. Montrer que A, M, U sont alignés. Par exemple en évaluant l'angle , on peut être plus précis et montrer que U est extérieur à [AM].

Remarque : de même Q, C, V sont alignés.

Q3.Conclure au théorème de Miquel sur l'existence du pentagone UVWXY sur les cercles initiaux.

Pour une solution trigonométrique, voir par exemple :

Menu général

(JL) recoupe C_A et C_C en U et V. (LM) recoupe C_B et C_D en X et Y.

Alors (PN) passe par V, (RP) par U et Y. De même si (PN) coupe C_E en W alors (RJ) passe par X et W : on a ainsi un petangone (irrégulier) UVWXY.

Q2.(JL) recoupe C_A et C_Cen U et V. Montrer que A, M, U sont alignés. Par exemple en évaluant l'angle , on peut être plus précis et montrer que U est extérieur à [AM].