Figure CabriII vers. MacOS 1.1.5

Window center x: -1 y: 0.16_

1: Pt, 0, CN:0, VN:1
R, W, t, DS:1 1, GT:1, I, nSt
Val: 0 0

2: Axes, 1, CN:1, VN:3
Y, W, t, DS:1 1, GT:0, I, nSt
Const: 1, Val: 1 0, 0 1

"A", NP: -155, -113, NS: 14, 12
3: Pt, 0, CN:0, VN:1
R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
Val: -4.53_ 3.53_
p: 0, Times, S: 12 C: 9 Fa: 0

"B", NP: -173, 66, NS: 14, 12
4: Pt, 0, CN:0, VN:1
R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
Val: -5.3 -2.03_
p: 0, Times, S: 12 C: 9 Fa: 0

"C", NP: -32, 55, NS: 14, 12
5: Pt, 0, CN:0, VN:1
R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
Val: -0.96_ -1.53_
p: 0, Times, S: 12 C: 9 Fa: 0

6: Tr, 0, CN:3, VN:4
dG, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const: 3 4 5

7: PBiss, 2, CN:1, VN:2
G, W, t, DS:1 1, GT:0, I, nSt
Const: 6

8: PBiss, 0, CN:1, VN:2
G, W, t, DS:1 1, GT:0, I, nSt
Const: 6

9: Int, 0, CN:2, VN:1
R, W, t, DS:1 1, GT:1, I, nSt
Const: 7 8

10: Cir, 0, CN:2, VN:2
Bl, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const: 9 3

"M", NP: 0, -30, NS: 17, 12
11: Pt/, 0, CN:1, VN:3
Bl, W, t, DS:1 1, GT:2, V, nSt
Const: 10, Val: -0.211783785287195 0.782721264090432
p: 0, Times, S: 12 C: 6 Fa: 1

12: Line, 0, CN:2, VN:2
dG, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const: 4 5

13: Line, 0, CN:2, VN:2
dG, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const: 5 3

14: Line, 0, CN:2, VN:2
dG, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const: 3 4

15: Perp, 0, CN:2, VN:2
G, W, t, DS:1 1, GT:0, I, nSt
Const: 11 12

16: Perp, 0, CN:2, VN:2
G, W, t, DS:1 1, GT:0, I, nSt
Const: 11 13

17: Perp, 0, CN:2, VN:2
G, W, t, DS:1 1, GT:0, I, nSt
Const: 11 14

"A'", NP: -3, 48, NS: 18, 12
18: Int, 0, CN:2, VN:1
R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
Const: 15 12
p: 0, Times, S: 12 C: 4 Fa: 0

"B'", NP: -68, 14, NS: 18, 12
19: Int, 0, CN:2, VN:1
R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
Const: 16 13
p: 0, Times, S: 12 C: 4 Fa: 0

"C'", NP: -161, -40, NS: 18, 12
20: Int, 0, CN:2, VN:1
R, W, t, DS:1 1, GT:1, V, nSt
Const: 14 17
p: 0, Times, S: 12 C: 4 Fa: 0

21: Line, 0, CN:2, VN:2
P, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const: 18 19

22: Seg, 0, CN:2, VN:2
lGr, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const: 11 19

23: Seg, 0, CN:2, VN:2
lGr, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const: 11 18

24: Seg, 0, CN:2, VN:2
lGr, W, t, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Const: 11 20

25: Angle, 0, CN:3, VN:5
lGr, W, t, DS:1 1, GT:24, V, nSt
Const: 11 20 4, Val: 1, 0.79

26: Angle, 0, CN:3, VN:5
lGr, W, t, DS:1 1, GT:24, V, nSt
Const: 11 19 5, Val: 1, 1

27: Sym, 0, CN:2, VN:1
R, W, t, DS:1 1, GT:1, I, nSt
Const: 4 18

28: Angle, 0, CN:3, VN:5
lGr, W, t, DS:1 1, GT:24, V, nSt
Const: 11 18 27, Val: 1, 1

29: Text, 0, CN:0, VN:1
B, W, BTh:1, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Val: -227 -213 1, A, nP, TP: -7.56_, 7.1, TS: 13.56_, -2
"                          Droite de Simson
Soient ABC un triangle, M un point du plan, A', B', C' les projetŽs orthogonaux de M sur (BC), (AC) et (AB).
Alors A', B', C' sont alignŽs ssi M est sur le cercle circonscrit ˆ ABC."
p: 0, Times, S: 14 C: 5 Fa: 1, p: 43, Times, S: 14 C: 5 Fa: 0

30: Text, 0, CN:0, VN:1
B, W, BTh:1, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Val: 46 -129 1, A, nP, TP: 1.53_, 4.3, TS: 8.76_, -8.53_
"Preuve

On suppose que M n'est pas en l'un des sommets du triangle, ainsi, les angles Žcris ci-dessous existent bien (voir les cas particuliers).

A', B', C, M sont cocycliques, et donc on a l'ŽgalitŽ d'angles de droites :
    (1)  (B'A', B'M) = (CA', CM) = (CB, CM)

B', C', A, M sont cocycliques, et donc :
    (2)  (B'C', B'M) = (AC', AM) = (AB, AM).

Or A', B', C' alignŽs Û (B'A', B'M) = (B'C', B'M)
Avec (1) et (2) on arrive ˆ 
      A', B', C' alignŽs Û (AB, AM) = (CB, CM)
Soit le rŽsultat souhaitŽ :

 A', B', C' alignŽs si et seulement si M est sur le cercle circonscrit ˆ ABC."
p: 0, Times, S: 14 C: 6 Fa: 4, p: 7, Times, S: 14 C: 11 Fa: 0, p: 7, Times, S: 14 C: 6 Fa: 0, p: 8, Times, S: 12 C: 6 Fa: 0, p: 226, Times, S: 12 C: 3 Fa: 0, p: 267, Times, S: 12 C: 6 Fa: 0, p: 312, Times, S: 12 C: 3 Fa: 0, p: 352, Times, S: 12 C: 6 Fa: 0, p: 358, Times, S: 12 C: 9 Fa: 0, p: 376, Symbol, S: 12 C: 9 Fa: 0, p: 378, Times, S: 12 C: 9 Fa: 0, p: 404, Times, S: 12 C: 6 Fa: 0, p: 409, Times, S: 12 C: 4 Fa: 0, p: 413, Times, S: 12 C: 6 Fa: 0, p: 416, Times, S: 12 C: 3 Fa: 0, p: 420, Times, S: 12 C: 6 Fa: 0, p: 459, Symbol, S: 12 C: 6 Fa: 0, p: 460, Times, S: 12 C: 6 Fa: 0, p: 510, Times, S: 12 C: 4 Fa: 1

31: Text, 0, CN:0, VN:1
B, W, BTh:1, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Val: -323 104 1, A, nP, TP: -10.76_, -3.46_, TS: 11.83_, -2.9
"Cas particulier : il est clair (on peut l'illustrer avec Cabri) que si M est en l'un des sommets du triangle, deux des trois points A', B', C' sont confondus et donc que les trois sont alignŽs.
RŽciproquement, si deux des trois points sont confondus, M est l'un des trois sommets, donc sur le cercle circonscrit au triangle.

Ces cas particuliers s'inscrivent donc dans le rŽsultat gŽnŽral du thŽor�me.
"
p: 0, Times, S: 14 C: 10 Fa: 4, p: 1, Times, S: 12 C: 10 Fa: 4, p: 15, Times, S: 12 C: 11 Fa: 0, p: 326, Times, S: 12 C: 10 Fa: 0

32: Text, 0, CN:0, VN:1
B, W, BTh:1, DS:1 1, GT:0, V, nSt
Val: -321 -48 1, A, nP, TP: -10.7, 1.6, TS: 3.6, -2.8
"Notation : pour Žviter d'alourdir le texte, on a choisi de noter l'angle de droites ((AB), (CD)) par l'Žcriture simplifiŽe (AB, CD)."
p: 0, Times, S: 12 C: 9 Fa: 4, p: 8, Times, S: 12 C: 9 Fa: 0