Sur les triangles inscrits dans une hyperbole équilatère

G.Huvent

Gery.Huvent@ac-lille.fr

17 janvier 2000

Résumé Lorsqu’un triangle ABC d’orthocentre H a ses sommets sur une hyperbole équilatère, cette dernière a son centre sur le cercle d’Euler du triangle et contient H.

Notations : AB désigne la droite passant par les points A et B. Lorsque D_{1} et D_{2} sont deux droites, on note D̂_{1}, D_{2} l’angle qu’elle forment, il est défini à π près.

Rappel : On rappelle le résultat suivant : Le cercle d’Euler contient les milieux I, J, K des cotés du triangle ainsi que les milieux α, β, γ des segments joignant un sommet à l’orthocentre.

1 Caractérisation angulaire de l’hyperbole équilatère

1.1 Une propriété des milieux des cordes

Proposition 1 Soit (H) une hyperbole équilatère alors toute corde AB de (H) découpe sur les asymptotes un segment [P, Q] qui a même milieu que [A, B]

Preuve. Dans le repère lié aux asymptotes l’équation de (H) est xy = k, où k est un réel. Notons a et b les abscisses de A et B. L’équation de la corde AB

est | \begin{matrix}x − a & b − a \\ y − \frac{k}{a} & \frac{k}{b} − \frac{k}{a} \end{matrix} | = 0, ce qui se simplifie en y = −\frac{k}{ab} (x − (a + b)).

On en déduit les coordonnées de P : (a + b, 0) et Q : (0, \frac{k}{a} + \frac{k}{b} ).

Le milieu de [P, Q] coïncide avec celui de [A, B].

Remarque 2 Cette propriété est vraie pour toute hyperbole, équilatère ou pas.

1.2 Caractérisation des cordes d’une hyperbole équilatère

A l’aide de ce résultat, on établit quelques propriétés angulaires des hyperboles équilatères. On note A′ le symétrique du point A par rapport à O, ainsi O est le milieu de [A, A′]. On désigne par Ox et Oy les deux asymptotes

Le triangle KPO est isocèle ( OK est la diagonale du rectangle de sommet O, P, Q ), ainsi les angles aux sommets P et O sont les mêmes. Par la réciproque du théorème de Thalès (O milieu de [A, A′] et K milieu de [A, B] ) les droites OK et A′B sont parallèles. On en déduit que

Ôx, AB = Â′B, Ox

En fait cette égalité caractérise les points de l’hyperbole différents de A et A′. Si M (M ≠ A et M ≠ A′ ) est un point du plan tel que Ôx, AM = Â′M, Ox, la droite (AM) coupe l’hyperbole en deux points A et B (et B ≠ A′). Le point B vérifie aussi Ôx, AB = Â′B, Ox et ainsi Â′M, Ox = Â′B, Ox (car AM = AB ). On en déduit que A′M = A′B et AM = AB, d’où M = B.

Proposition 3 Le point M est sur l’hyperbole de diamètre [A, A′] si et seulement si

Ôx, AM = Â′M, Ox

Un corollaire qui nous sera utile est le suivant :

Corollaire 4 L’hyperbole équilatère de diamètre [A, A′] passant par B est le lieu des points C tels que

ÂB, AC = Â′C, A′B

Preuve. C est sur l’hyperbole si et seulement si Ôx, AC = Â′C, Ox On sait que B est un point de l’hyperbole ainsi ÂB, Ox = Ôx, A′B (cf proposition 3 ). Ainsi Ôx, AC = Â′C, Ox / ÂB, Ox + Ôx, AC = Â′C, Ox + Ôx, A′B / ÂB, AC = Â′C, A′B

2 Sur L’orthocentre d’un triangle inscrit dans une hyperbole équilatère

Considérons alors un triangle ABC inscrit dans une hyperbole équilatère. Notons H son orthocentre, alors ĤC, HB = ÂB, AC (angles à cotés perpendiculaires). D’où ĤC, HB = Â′C, A′B (cf corollaire 4) et ainsi par le théorème de l’arc capable on obtient la

Proposition 5 les quatre points H, C, B et A′ sont cocycliques.

On en déduit que Â′H, A′B = ĈH, CB, mais ĈH, CB = ÂB, AH (angles à cotés perpendiculaires ). En particulier ÂB, AH = Â′H, A′B et on a le

Théorème 6 L’orthocentre de tout triangle inscrit dans une hyperbole équilatère est sur cet hyperbole

2.1 Une propriété du cercle d’Euler

On peut maintenant prouver le théorème qui nous intéresse et qui, je crois, est de Brianchon et Poncelet.

Théorème 7 Le centre de toute hyperbole équilatère circonscrite à un triangle est sur le cercle d’Euler de ce triangle Preuve.

L′

homothétie de centre A et de rapport \frac{1}{2} envoie B sur K milieu de [A, B], C sur J milieu de [A, C], H sur α milieu de [A, H] et A′ sur O. On sait que B, C, H et H′ sont cocycliques et que les trois points J, K et α sont sur le cercle d’Euler de ABC, il en est donc de même de O

2.2 Remarques

On a vu que les points H, B, C et A′ sont cocycliques. Ils sont situés sur le cercle image du cercle d’Euler du triangle ABC par l’homothétie de centre A et de rapport 2. En fait ce cercle est l’image du cercle circonscrit au triangle ABC par la symétrie orthogonale par rapport à la droite BC.

En particulier le symétrique de A′ par rapport à BC est sur le cercle circonscrit au triangle ABC (résultat que l’on retrouve par l’égalité ÂB, AC = Â′C, A′B cf corollaire 4.

2.3 Une parabole pour finir en beauté

Il existe un autre point sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

Proposition 8 Soit ABC un triangle d’orthocentre H et inscrit dans une hyperbole équilatère de centre O. Le point F symétrique de H par rapport à O est sur le cercle circonscrit au triangle ABC

Preuve. B est sur l’hyperbole équilatère de diamètre [FH] passant par A, on a (cf corollaire 4) ĤA, HB = F̂B, FA. Mais ĤA, HB = ĈA, CB (angles à côtés perpendiculaires), ainsi par le théorème de l’arc capable, les points A, B, C et F sont cocycliques.

Le point F est donc sur le cercle circonscrit à ABC, si F est distinct de A, B et C alors la parabole P de foyer F et de directrice D, droite de Steiner de F, est ”tritangente” au triangle ABC. (pour ce résultat voir : www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoPlane/Cocyclik/SimpSte2.htm)

Reste le cas où F est en A, B ou C. Que dire alors du triangle ABC?

Remarque 9 Un problème réciproque est posé dans le Bulletin n^{∘}425 (Novembre-Décembre 1999) de l’APMEP, dans la rubrique : ”Les problèmes de l’APMEP”

Références

[1] C.Lebossé & C.Hémery. Géométrie classe de Mathématiques. Editions Jacques Gabay