Objectifs - Utilisation des pages

Exemples historiques de transfert de support en mathématiques

Il est intéressant d'observer que dans le passé, le changement de transfert de support a engendrer de nombreux bouleversements dans la pratique des mathématiques savantes de l'époque et dans l'enseignement des mathématiques en général. Sans entrer dans des détails trop fastidieux, signalons toutefois deux exemples significatifs, le premier en Chine, le second en Europe.

En Chine

Les baguettes à calculer, que l'on dispose sur une planche de bois quadrillée (une sorte d'échiquier) apparaissent vers le II° siècle avant JC et sont d'un usage courant jusqu'au XIII° siècle après JC. Ce support à deux dimensions permet le développement de calculs complexes : . Ainsi, on trouve la méthode du pivot de Gauss pour la résolution de systèmes d'équations linéaires 3x3 dès le I° siècle avant JC! On trouve également d'équations polynomiales à une ou plusieurs inconnues : jusqu'à 4 inconnues, représentées sur la table à calculer par les 4 directions cardinales. Lorsque le boulier apparaît, vers le XIII° ou XIV° siècle, il se révèle beaucoup plus pratique pour les calculs courants - les 4 opérations - des commerçants, artisans, etc. Il l'emporte face aux baguettes à calcul. Mais ce changement de support entraîne une régression de la pratique mathématique de haut niveau : le boulier, instrument linéaire, ne permet pas de calculer simultanément sur plusieurs nombres disposés en tableau. Et en quelques génération, on voit les mathématiciens chinois écrire qu'ils ne comprennent pas les textes classiques du I° siècle avant JC, et peu à peu les supprimer des éditions ultérieures. Il est possible que ce transfert de support non préparé soit une des raisons pour lesquelles les mathématiques chinoises n'ont plus rien créé de nouveau à partir du XIV° siècle.

En Occident

Les calculateurs avaient hérité de l'époque romaine la pratique des calculs sur l'abaque à jetons (on déplace des jetons sur une planche divisée en colonnes). En effet, les chiffres romains ne permettent aucune sorte de calcul : ils servent seulement à écrire les nombres, en aucun cas à opérer sur eux. Vers le XII° siècle, au retour des croisades et

à la suite de contacts avec les arabes d'Espagne et d'Afrique du Nord, la technique du calcul indien avec les chiffres arabes et le zéro est ramenée d'Orient. Les savants (un des premiers étant Fibonacci) adoptent avec enthousiasme le nouveau calcul écrit qui va permettre l'envol des mathématiques en Occident. Par contre, les commerçants, comptables, artisans, etc. continuent à utiliser l'abaque à jetons. La querelle est vive entre les abaquistes (tenants de l'abaque) et les algoristes (tenants du calcul écrit). En France, elle se prolonge jusqu'à la Révolution qui interdit officiellement et définitivement l'usage de l'abaque dans les écoles et les administrations. Ainsi, il s'est passé à peu près le contraire de la Chine : au début, un support inadapté qui a stérilisé les mathématiques occidentales pendant tout le Moyen-âge et jusqu'à la Renaissance, puis un support efficace qui a permis, dans la lignée des arabes, le développement foudroyant de l'algèbre.

Perspectives

Nous sommes sans doute en train de vivre un changement de support comparable aux deux précédents : le calcul indien écrit est en voie d'être remplacé par le calcul sur calculatrice. À un plus haut niveau, le calcul algébrique papier-crayon est remplacé par les logiciels de calcul symbolique, et les figures de géométrie papier-crayon-règle-compas par les logiciels de géométrie dynamique. Cette mutation semble s'accompagner de changements profonds au niveau de la recherche mathématique : revalorisation des mathématiques appliquées, création de véritables mathématiques expérimentales (on commence à voir publier dans les revues mathématiques des articles où se mêlent des démonstrations incomplètes et des conjectures appuyées par des calculs gigantesques sur des exemples), recul des grandes constructions abstraites de la première moitié du XX° siècle (algèbre homologique, etc.) qui étaient d'une certaine façon la conséquence du fait qu'on avait atteint les limites du calcul papier-crayon et qu'on se réfugiait dans des spéculations non constructives sur des objets de plus en plus sophistiqués.

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Transfert de support et transposition mathématique

"Toute une classe de professionnels risque désormais d'apparaître comme des intermédiaires parasites de l'information (journalistes, éditeurs, enseignants, médecins, avocats, cadres moyens) ou de la transaction (commerçants, banquiers, agents financiers divers) et voient leur rôles habituels menacés. On appelle ce phénomène la "désintermédiation". Les institutions et métiers fragilisés par la désintermédiation et l'accroissement de la transparence ne pourront survivre et prospérer dans le cyberspace qu'en accomplissant leur migration de compétence vers l'organisation de l'intelligence collective et l'aide à la navigation" Pierre Lévy

Une autre transposition des mathématiques

L'utilisation d'un langage humain est nécessairement séquentielle. Sa matérialisation sur un support statique de communication nous paraît aussi induire une transposition particulière des mathématiques, qui la rend séquentielle dans sa description, alors que le temps et la séquence n'existent pas en mathématiques : les objets géométriques qui nous occupent ici sont, en soi, intemporels.

Cette transposition séquentielle des mathématiques - et donc des activités associées - induit une approche séparable (en un sens correspondant à celui de la topologie) des preuves, puisque le langage discursif autorise la séparation des cas. Et paradoxalement, cette séparabilité, permettant aux objets mathématiques de n'être appréhendés - car décrits - dans leur transposition séquentielle que dans un contexte isolé et partiel, évite d'avoir à rendre compte d'une unité intrinsèque de l'objet mathématique en soi. Pour prendre une image dans une analogie quantique, tout se passe comme si la transposition séquentielle d'un objet - nous entendons par là sa description sur un support - se comportait comme une réduction, à une de ses matérialités possibles (et pas toujours la même), de la fonction d'onde qui représenterait alors l'essence même de l'objet mathématique.

Pour le projet abraCAdaBRI, l'apport de la géométrie dynamique comme l'ont implémentée Jean Marie Laborde et son équipe dans Cabri-géomètre propose, pour le modèle de géométrie plane, une autre transposition des mathématiques, plus fine, qui a déjà, a priori, le mérite de mettre en relief l'existence d'une autre transposition : cette transposition originelle à laquelle nous sommes tous assujettis sans en être généralement conscients. La dualité a d'abord la particularité de briser l'identification. Mais précisons tout de suite que cette nouvelle transposition n'est qu'une autre transposition, et comme telle, porte elle aussi ses identifications, qu'il sera ... avec le temps (!!!) nécessaire d'étudier.

Transfert de support : conséquences pour la formation

"Il nous semble tout aussi important de mettre à distance des représentations qui nous conduisent à penser la légitimité en termes d'adéquation aux valeurs et normes héritées des environnements usuels." Michèle Artigue

Ce terme voudrait rendre compte d'une modification de notre rapport à la transmission culturelle qui est entrain de s'opérer et qui s'exprime peut-être avec le plus d'acuité en mathématiques, de par l'utilisation de logiciels en manipulation directe.

Notre enseignement, à l'image de notre société, est basé sur une culture de l'écriture. Et la transmission des savoirs et savoir-faire y passe, pour une très grande partie, par l'écrit et l'illustration. Or si les techniques et styles d'écriture - y compris de textes mathématiques - ont pu évoluer au cours des siècles, jamais le support lui-même n'a été remis en cause. Ainsi faisons nous des dessins géométriques sur du papier avec des outils que l'on a considéré, par un vocabulaire et des pratiques séculaires, comme des outils de géométrie, alors que nous pouvons maintenant prendre conscience que ce sont des outils de dessin sur papier.

Parce que l'occident n'a eu pendant des siècles d'autre support d'expression et de communication pour sa créativité mathématique que le papier, nous avons identifié - et ce fut peut-être le premier isomorphisme - des outils de tracés sur papier avec des outils mathématiques, simplement par injection canonique d'un ensemble dans l'autre en n'y voyant qu'une bijection, parce que c'en était alors une : l'injection canonique était une simple troncature de la référence au support d'expression, puisqu'il était unique.

Il est intéressant de poursuivre la réflexion un peu plus avant pour faire remarquer qu'en fait cette identification provient de deux autres imbriquées, celle du plan mathématique comme modèle de surfaces planes physiques usuelles, mais aussi - et c'est essentiel pour ce qui nous concerne - celle des surfaces planes usuelles comme exemple d'expression manifestée physique du concept de plan mathématique dans le cadre de l'enseignement.

Nous en arrivons ainsi à une remarque saisissante : les mathématiques ont été pratiquées pendant des siècles sur un support physique qui a été à la fois le représentant principal du concept de plan mathématique, mais également le seul moyen de communication et d'expression des mathématiciens. Ceci a provoqué, de fait, au moins dans l'enseignement, l'identification des outils du support à des outils mathématiques et par là même imprégné l'enseignement des mathématiques de son propre support d'expression.

Nous sommes alors en mesure d'émettre une première ligne directrice pour le projet abraCAdaBRI, en terme de formation des enseignants de mathématique :

Dans la formation qu'il reçoit, l'enseignant doit clairement pouvoir prendre conscience que la pratique de la géométrie - ou au moins son enseignement - a longtemps été imprégnée de son support physique d'expression au point sinon d'en modifier l'enseignement de ses concepts au moins de les localiser fortement à ce support.

On remarquera néanmoins tout de suite que cette prégnance du support d'expression dans l'enseignement, même s'il colore fortement le concept enseigné, reste de toute façon incontournable, de part le simple besoin d'expression dans l'acte d'enseignement. Elle sera donc toute aussi présente avec un autre support.

Deux supports existent désormais pour l'enseignement et son expression : le classique support papier et le support électronique avec, bientôt disponible à l'enseignement, ses ramifications sur les réseaux. La démarche du système éducatif, appuyé parfois par les recherches en didactique qu'il est amené à commander, consiste à évaluer comment utiliser le nouveau support pour continuer à fonctionner sur l'ancien support traditionnel, ce que le système institutionnel appelle "l'intégration des outils" . Or, comme nous venons de l'observer, l'imprégnation du support dans l'enseignement des concepts est tel en mathématiques qu'un va et vient régulier entre les supports, s'il est assurément porteur de richesse en tant que processus de changement de cadre n'est probablement pas aussi efficace qu'on pourrait le penser à priori dans la mesure où il amène à travailler sur des savoirs enseignés différents sans que le contrat didactique et l'analyse institutionnelle en tienne effectivement compte :

• si les enseignants sont bien conscients de cette modification des savoirs enseignés, il reste difficile pour beaucoup, en dehors d'une formation spécifique, de prendre réellement en considération cette différence pour l'utiliser avec pertinence dans leurs enseignements.

• l'analyse et l'évaluation de l'institution est alors amenée à rendre compte de certains dysfonctionnements de ce changement de cadre, ce qui, comme nous l'avons dit plus haut, valide et légitimise le premier support, tout en discréditant une éventuelle approche au delà de cet horizon de la formation à l'outil informatique ... ainsi intégré.

Autrement dit, là où on aurait pu, par une nouvelle pratique, atteindre une certaine hétérogenèse - engendrement d'altérité - dans la pratique éducative, potentiellement riche de cet apport, ce concept d'intégration ne produit que de l'homogenèse : il engendre de l'identique à soi, de l'homogène.

Pour résumer et traduire ces observations en terme de directions de travail, dans le cadre notre projet abraCAdaBRI, nous proposons de compléter l'hypothèse précédente de la manière suivante :

La formation initiale amènera à sensibiliser les enseignants sur l'aliénation du savoir enseigné au support d'enseignement et saura proposer des situations d'enseignement qui s'enrichissent de cette aliénation.

Une part importante des pages déjà réalisées sur abraCAdaBRI propose de telles approches (Alice : géométrie logique).

Nous n'avons certes pas la naïveté de penser qu'une utilisation généralisée du support numérique supplantera le support papier, le fax est là comme contre-exemple , et les élèves apprendront encore longtemps à lire et à écrire sur papier. Mais dans une société qui entre de plein pied - et pour s'y installer - dans une ère d'information et de communication, le support numérique, et rapidement les réseaux compte tenu des orientations nationales et communautaires, ne peuvent que devenir le véhicule privilégié de la formation, y compris de la formation institutionnelle.

De nouvelles interfaces pour de nouveaux savoirs

En terme d'enjeux pour la formation des enseignants, nous aimerions insister sur le fait que nous avons à faire là, à une nouvelle approche de la connaissance, de par la pratique de nouveaux outils, en particulier de nouvelles interfaces (au sens large) pour appréhender le savoir.

On pourrait penser que les savoirs mathématiques n'entrent pas dans ce schéma. C'est probablement vrai pour une grande partie de ces savoirs. Néanmoins, la problématique dégagée ci-dessus à propos du support d'expression de l'enseignement montre bien que l'interface papier / crayon est une donnée uniquement historique de la culture mathématique - et non pas ontologique - et qu'un changement d'interface ne peut que changer certaines données de ces savoirs. Pour illustrer ce point, on pourra observer les pages d'abraCAdaBRI relatives à la notion de géométrie logique : cette démarche permet entre autre d'unifier les classiques "cas de figure" d'une approche mathématique essentiellement discursive.

Pour le projet abraCAdaBRI, ce nouveau support produit une nouvelle réalité, celle d'un autre environnement, la réalité des Cabri-figures considérées comme expression sensible en soi d'objets mathématiques, tout comme le sont les dessins géométriques dans l'environnement papier/crayon.

Sur la pratique induite des élèves

Les élèves évoluent désormais dans un environnement culturel qui n'est plus dominé par les valeurs engendrées par l'écrit - comme la trace, la séquence, les notions de vérité, et donc de théorie (référentes) et d'objectivité - mais par celles de l'information et de la communication où les valeurs émergeantes sont de l'ordre de l'immédiateté (le temps réel), la simulation, l'efficacité, ou la pertinence locale. Ce changement de valeurs culturelles provoquent de nouveaux rapports aux savoirs et à leurs apprentissages.

On peut en particulier s'interroger sur cette capacité nouvelle qu'ont parfois les lycéens à inverser le rôle que la culture de l'écrit accorde respectivement au processus d'acquisition des connaissance et au savoir : chacun peut en effet observer que le savoir ou savoir faire à acquérir (par contrat avec une institution d'éducation ou de formation) dans certains cas devient un moyen d'enrichir sa propre approche des processus d'apprentissage. Les savoirs ou savoir faire qui, il y a encore peu, assuraient une stabilité professionnelle, sont désormais trop volatils (perçus comme relevant simplement d'une pertinence locale) et, s'ils sont incontournables pour être au présent, sont surtout un moyen de forger son propre "savoir-devenir" .

Or ceci n'est possible que par une objectivation du processus d'acquisition des connaissances. Même si ce n'est pas le lieu de développer cet argumentation ici, disons que c'est justement une des questions soulevées dans l'utilisation de Cabri-géomètre : sa pratique régulière favorise cette objectivation. Dans ce cas la motivation des utilisateurs est critériée par le processus d'apprentissage lui-même, en particulier par ses propres capacités de simulation.

Ainsi serait-il possible que Cabri-géomètre, de par son ouverture à une culture de simulation, soit parfois détourné des modes de fonctionnement autour desquels il a été conçu vers d'autres qui autoriseraient dans un cadre strictement scolaire l'exercice de l'apprentissage comme objectif premier d'un savoir faire (encore) à acquérir ?

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Utilisation des pages et figures Cabri

On pourra être surpris du nombre de possibilités de chargement de figures et macros Cabri, en particulier dans des situations de constructions assez longues. Cette orientation a été choisie dans la perspective (bien cavalière) de trois lectures possibles - et à tout moment possiblement imbriquées - de l'utilisation des pages d'abraCAdaBRI.

Une lecture rapide : envisagée pour collecter des figures et des macros sur un thème donné. Pour cela les figures finales de chaque activités sont proposées, en général en début de page, et quand cela a un sens transformées en macro.

Une lecture ciblée : on peut souhaiter s'attarder sur un détail d'une construction. Pour cela, l'écriture des pages est faite pour favoriser, au mlilieu d'une lecture rapide, la possibilité de prendre du temps pour un détail que l'on traitera avec CabriII en connection : à chaque étape d'une activité, une figure de départ est téléchargeable, les phases précédentes à réutiliserer sont proposées en macro. Le lecteur peut ainsi se concentrer sur l'un des points abordés dans la page qui a un intérêt particulier pour lui.

Une lecture détaillée : cas où l'utilisateur envisage de faire un partie importante de la construction proposée sur la fiche. On remarquera que là aussi, on dispose de la possibilité de glisser rapidement sur une partie de construction par le chargement d'une figure intermédiaire ou d'une macro à appliquer pour gagner du temps.

On aura compris qu'abraCAdaBRI se propose d'être un site militant pour la pratique de Cabri-géomètre, même si, paradoxalement, peu d'activités pour des situations de classe sont actuellement présentes sur le site.

L'organisation des pages contenant des figures Cabri est en fait optimisée pour une utilisation en formation : un formateur trouvera dans la structure de ces pages des figures intermédiaires prêtes à l'emploi qu'il peut lui-même proposer à ses propres stagiaires ou étudiants pour les traitements ponctuels sur lesquels il souhaite les faire travailler.

Netiquette

Les figures Cabri sont faites pour être téléchargées et utilisées. Une utilisation en formation mentionnera abraCAdaBRI et invitera à le visiter en fournissant son adresse.

Même si des macros peuvent naturellement être placées et utilisées dans des pages, on évitera de mettre en ligne des dossiers ou des pages entières d'abraCAdaBRI sur ses propres serveurs (de formation par exemple). On préfèrera un lien sur abraCAdaBRI.

Serge Ceconni - le dessinateur des images qui illustrent le site - accepte d'être "dowloadé". Penser, là aussi, à le mentionner si vous faites une utilisation intensive de ses dessins. On peut aussi lui écrire pour mentionner combien on apprécie son coup de patte et son humour.

Cabri-géomètre, comme logiciel ouvert, est parfois considéré par les enseignants ou les formateurs comme demandant un investissement spécifique pour préparer des situations utilisables en formation des enseignants. abraCAdaBRI propose de mettre en ligne des contenus qui permettent aux uns - étudiants - et aux autres - formateurs - de télécharger des figures ou des pages permettant leur utilisation en formation.

En conclusion abraCAdaBRI essaie de proposer, grâce à Cabri-géomètre, un regard dynamique régulier et - si possible - pertinent à la fois sur la formation en géométrie mais aussi sur la pratique enseignante.

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