Aspect projectif des coniques

Transformation d'un cercle en une conique

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Préambule et résultat théorique

La transformation la plus simple qui permette de transformer un cercle en une conique quelconque est l'homologie harmonique. Les résultats décrits ci-dessous sont de Chasles : une droite passant par le centre O d'une homologie harminque coupant son axe d en M envoie le milieu de [OM] à l'infini. L'homologie harmonique transforme donc l'homothétique d' de l'axe d, dans l'homothétie de centre O de rapport 1/2 en la droite de l'infini. Alors :

On trouvera aussi une preuve analytique dans le récent ouvrage sur la perspective - et Cabri - de Consolato Pellegrino (Décembre 99) : "Perspectiva : il punto di vista della geometria".

 

Transformation d'un cercle en conique à centre

Notation : soit une homologie harmonique de pole O, d'axe d, et C un cercle. On cherche à savoir quand l'image du cercle par cette homologie harmonique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole. On note d' l'homothétie de d dans l'homothétie de centre O de rapport 1/2.


Le cercle est déplaçable par son centre et en teille, O et la droite d sont modifiables.
Utiliser l'engagement direct du curseur pour vérifier le résultat ci-dessous

Comme rappelé en préambule, si la droite d' coupe le cercle en 2 points l'image du cercle est une nyperbole. Si la droite d' ne rencontre pas le cercle, la conique est une ellipse, et ...

Transformation d'un cercle en parabole

... si la droite d' est tangente au cercle c'est une parabole.


Pour la parabole O, et d sont modifiable, le cercle peut se déplacer par son centre, mais sa taille est définie pour obtenir une parabole.
Avec l'engagement direct du curseur, on vérifiera que l'on a bien toujours une parabole.

 

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