ALGEBRE - STRUCTURE DE GROUPE

2 - Groupe sur le folium de Descartes

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Définition de la loi de composition interne *

Folium1.fig et ParamFol.mac et ProdFol.mac

 Dans la suite, on suppose la relation algébrique connue. Il resterait à montrer qu'elle correspond effectivement à la construction géométrique. C'était une partie de l'activité de calcul symbolique sur la TI 92 que nous ne reproduisons pas ici.

 

Vérification de l'associativité

Position du problème

Folium2.fig

Preuve du résultat

Compte tenu de la relation algébrique, l'associativité résulte de celle des nombres réels. Si P, Q et R ont pour paramètre respectif p, q et r, Q*R a pour paramètre -qr et donc P*(Q*R) a pour paramètre pqr. De même P*Q a pour paramètre -pq et (P*Q)*R a bien pour paramètre pqr.

 

Neutre et élément symétrique

 

Folium3.fig

L'élément neutre est le point à l'infini dans la direction de l'asymptote. On se place alors, de fait, dans le plan projectif pour étudier la structure de groupe. C'est une situation générale sur les cubiques (ou les courbes elliptiques).

 

Construction du carré pour construire la tangente

 

  Folium4.fig

 

Autre exemple de structure de groupe sur une cubique : lors du colloque sur l'histoire des Mathématiques organisé par l'IUFM de La Réunion en novembre 97, DominiqueTournès a présenté, dans un atelier, un travail de Ramajunan sur les nombres sommes de deux cubes à partir d'une structure de groupe sur une cubique.

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