Rappel : Soit ABC un (vrai) triangle, (A, B, C) est un repère affine. Ma pour coordonnées homogènes (x, y ,z) dans ce repère s'écrit M = xA +y B +zC avec x+y+z = 1. C'est équivalent à , c'est-à-dire M(x, y) dans le repère cartésien - le point associé à la composante "z" devenant l'origine.

Exemple des ellipses de Steiner

 

Equations barycentriques d'une conique et de ses tangentes.

Considèrons un polynôme du second degré en x et y de la forme

P(x, y) = Ax² +By² +2Dxy + 2Ex + 2Fy + k (avec l'un des trois termes A, B ou D, au moins, différent de 0)

L'ensemble C des points M(x, y) dans un repère cartésien donné, tels que P(x, y) = 0, est appelé une conique du plan, d'équation P(x, y) = 0.

La transformation qui, aux coordonnées cartésiennes (x, y), associent celles barycentriques (x, y, z = 1-x-y) donne la forme des équations barycentriques des coniques : ce sont des polynômes homogènes du second degré, de la forme F(x, y, z) = 0 avec

F(x, y, z) = ax² + by² + cz² + 2a'yz + 2b'zx + 2c'xy = 0.

Pratiquement on passe de la première à la seconde en remplaçant les termes du premier de degré et le terme constant en terme du seconde degré, en multipliant par 1 = (x+y+z). On peut aussi avoir un regard matriciel (proposé par Tisseron) :

En notant

P(x, y) = ^tX'MX', soit F(x, y, z) = ^tX^tNMNX, soit, en posant A = ^tNMN, on a F(x, y, z) = ^tXAX.

De même, la tangente en un point M₀(x₀, y₀, z₀) à cette conique a pour équation barycentrique :

(ax₀ + c'y₀ + b'z₀)x + (by₀ + a'z₀ + c'x₀)y + (cz₀ + b'x₀ + a'y₀)z = 0,

relation que l'on obtient à partir de l'équation cartésienne de la tangente en M₀ à la conique d'équation P(x, y) = 0, soit :

Axx₀ + Byy₀ + D(xx₀ +yy₀) + E(x + x₀ ) + F(y + y₀) + k = 0.

 

Cas particulier d'une conique passant par les points du repère affine.

On suppose que la conique passe par les points A, B et C du repère affine. Alors F(1, 0, 0) = 0 entraine a=0, de même F(0, 1, 0) = 0 entraine b = 0 et F(0, 0, 1) entraine c = 0.

L'équation barycentrique, dans un repère affine (A, B, C) d'une conique passant par ces trois points est de la forme a'yz + b'zx + c'xy = 0.

Cas particulier des coniques impropres.

Soit une conique impropre - ayant au moins trois points - dont trois points distincts A, B et C sont alignés. Alors cette conique est la réunion de deux droites (éventuellement confondues).

En effet, Plaçons nous dans un repère affine (A, B, D), avec D n'appartenant pas à la droite (AB). Et soient (u, v, 0) les coordonnées barycentriques de C dans (A, B, D). Par la même démarche que ci-dessus, on a d'une part a=0 et b = 0 (par A et B sur la conique) et d'autre part c' = 0 (par C est sur la conique).

L'équation de la conique devient cz² + 2a'yz + 2b'zx = 0, soit encore z(cz + 2a'y + 2b'x) = 0.

La conique est donc la réunion de deux droites d'équation barycentrique:

z = 0 (c'est la droite (AB) et

cz + 2a'y + 2b'x = 0 qui peut être sécante, strictement parallèle ou confondue avec la droite (AB).

Par exemple la conique impropre formée de la réunion :

des deux droites (AB) et (AC) est d'équation barycentrique yz = 0.

de la droite (AB) et de la parallèle à (AB) passant par C est d'équation barycentrique xz + yz = 0.

des médianes (AA') et (BB') de ABC est d'équation barycentrique : z² + xy - xz - yz = 0.

Exemple des ellipses de Steiner.

La conique inscrite est tri-tangente au triangle ABC en les milieux des côtés. Celle circonscrite passe par les sommets et a sa tangente en chaque sommet parallèle au côté opposé du triangle.

Steiner2.fig

L'ellipse circonscrite

Son équation est de la forme a'yz + b'zx + c'xy = 0. En écrivant que la parallèle à (BC) en A - d'équation barycentrique y + z = 0 - est tangente à la conique, il vient c'y + b'z = 0, soit donc c' = b'. En écrivant l'équation d'une autre tangente, par exemple en B, il vient c' = a'.

Ainsi une équation barycentrique est donc xy + yz + zx = 0.

Remarque : on a montré en même temps que la conique passant par A, B, C, ayant pour tangente en A la parallèle à (BC) et pour tangente en B la parallèle à (AC) a nécessairement pour tangente en C la parallèle à (AB).

L'ellipse inscrite

Soient A', B', C' les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement. La conique passant par le point A' donne a+b+c' =0. De même, le fait qu'elle passe par B' et C' aboutit à b+c+a' =0 et c+a+b' = 0.

Par ailleurs, la conique en A', d'équation (c'+b')x + (2b + a')y + (2c + a')z = 0, devant être la droite (BC) d'équation x = 0, donne a' = - 2b = -2 c et donc b = c. De même l'équation de la tangente en B' étant la droite (AC) aboutit à c = a.

L'équation de l'ellipse de Steiner inscrite est donc x² + y² + z² - 2xy - 2yz - 2zx = 0.

Remarque : comme ci-dessus, on a montré par la même occasion que la conique passant par A', B', C', les milieux des côtés opposés à A, B, C et ayant pour tangente en A' la droite (BC) et pour tangente en B' la droite (AC) a nécessairement pour tangente en C' la droite (AB).

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Notes : Ces deux coniques ont pour centre le centre de gravité G du triangle, elles sont homothètiques (h_G,2). D'un point de vue euclidien celle inscrite est l'ellipse d'aire maximale inscrite dans le triangle, celle circonscrite est l'ellipse d'aire minimale circonscrite au triangle.

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