Ces applications sont très modestes : Pascal a déduit plus de 400 corollaires du théorème de l'hexagramme. Il s'agit ici d'utiliser le théorème pour des constructions de coniques spécifiques à Cabri : trouver 5 points de la conique. N'hésitez pas à proposer des compléments à cette page consacrée aux constructions sur les coniques à partir des théorèmes affines de base. En dehors de ces questions de construction, voir une structure de groupe sur une conique par l'application du théorème de Pascal.

Cabri-conique connaissant trois points, une tangente et son contact

On a donc 4 points, il suffit de construire un cinquième point. Pour cela, on utilise directement le théorème.

 

Cnk3P1TC.fig ou Cnk3P1TC.mac

Note technique : comme les trois points C, B', A ne sont pas alignés, l'une des deux droites (CB') ou (AB') n'est pas parallèle à la tangente. On peut donc appliquer la macro même si l'une des deux est parallèle à la tangente : il suffit de choisir pour deuxième et troisième point, ceux pour lesquels la droite n'est pas parallèle à la tangente.

Cabri-conique connaissant un point, deux tangentes et leurs contacts

Il suffit de construire un point supplémentaire de la conique, et d'appliquer la macro précédente.

Cnk1P2TC.fig ou Cnk1P2TC.mac

Cabri-conique connaissant trois tangentes dont deux avec leurs contacts

 

Cnk2TC1T.fig ou Cnk2TC1T.mac

 

Autres exemples de constructions par points et tangentes

Il est naturel d'essayer de dissocier la constrainte une tangente et son contact en une tangente et un point : aprés "conique par trois points, une tangente et son contact", on se pose naturellement la question de la construction d'une conique connaissant 4 point et une tangente. De même, aprés deux tangentes, leurs contacts et un point, comment réaliser deux points, une tangente avec son contact, et une tangente. On imagine que l'information une tangente et son contact est plus riche - et donc plus contraignante - qu'une information une tangente et un point. Il est clair que les constructions ne vont pas faire appel aux seuls outils utilisés jusqu'ici, même si on cherche, fondamentalement, un cinquième point, de préférence de contact avec une des tangentes données.

On trouvera ces constructions - nécessairement sur la base de considérations euclidiennes - à cette page.

Construction du centre d'une Cabri-conique à partir de ses 5 points constituants

On a déjà vu la construction du centre d'une conique en utilisant le tracé de cette conique. On se propose ici de réaliser la même construction sans tracer la conique : la méthode est la même que dans le premier cas : le centre est à l'intersection des droites passant par le milieu de deux cordes parallèles.

Construction de l'intersection d'une conique avec une droite parallèle à une corde de la conique en un point de cette conique.

 

CordesP1.fig ou CordesP1.mac

Application à la construction du centre

À partir de 5 points A, B, C, D et E, on peut, par la macro précédente, construire E' de la conique passant par ces 5 points, tel que (EE') // (AB) et A' tel que (AA') // (BD). On construit alors les droites des milieux des cordes parallèles (MN) et (PQ). Le centre de la conique est l'intersection de ces deux droites. Approche affine pour l'ellipse : le milieu des cordes parallèles est la version affine de la médiatrice d'une corde d'un cercle. Par transformation affine cette lecture affine donne le centre. Cas général (ellipse et hyperbole) : la droite (MN) est la polaire par rapport à la conique du point à l'infini dans la direction (AB), de même (PQ) est la polaire du point à l'infini dans la direction (BD). (voir aussi pôle et polaire)   CordesP2.fig ou CentrCnk.mac

 

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