Université d'été 96

Extraits de la conférence de Michel Guillerault

2 - Centre et diamètres conjugués
Pôle d'une droite par rapport à une conique

Centre d'une conique

Le centre d'une conique se trouve sur le lieu des milieux de cordes parallèles. Il suffit de prendre deux tels lieux : à partir de trois points A, B, C, de la conique (parmi les 5 points constituants) on construit C' intersection de la conique et de la parallélèe à (AB) passant par C et B' la parallèle à (AC) passant par B. Le lieu des milieux des cordes parallèles à (AB) est la droite passant par les milieux de [AB] et [CC'], de même le lieu des milieux des cordes parallèles à (AC) est la droite passant par les milieux de [AC] et de [BB']. Le centre de la conique est à l'intersection. La figure CentreC.fig. La macro Centre d'une conique.

Note d'abraCAdaBRI

Pour les ellipse, ce qui précède est une lecture affine de propriétes métriques du cercle : les médiatrices d'un cercles sont aussi les lieux des milieux des cordes parallèles à une corde données, et en traçant deux tels lieux, on trace la transformation affine de deux médiatrices.

On pourrait penser simplifier cette construction en ne prenant qu'une corde et le milieu du diamètre obtenu. Si cela est satisfaisant pour l'ellipse, cela peut ne pas donner de centre pour l'hyperbole puisque, selon comment sont pris les points sur les branches, la droite joignant deux milieux peut être entièrement dans l'extérieur de l'hyperbole.

Construction des asymptotes d'une hyperbole

Pour faire la figure suivante, on aura besoin de la macro précédente Centre d'une conique et d'une macro Polaire.

Charger une macro Polaire.mac

Cabri est particulièrement stable en ce qui concerne le passage à l'infini. On peut s'en servir pour transformer des tangentes en asymptotes. Soit une hyperbole dont on a construit le centre O. On construit la polaire d'un point P extérieur à l'hyperbole, puis les tangentes issues de P, dont les points de contact sont les intersections de l'hyperbole et de la polaire. Il suffit alors de redéfinir le point P comme identifié à O pour que les points de contacts soient renvoyés à l'infini : les tangentes se transforment naturellement en asymptotes. La macro Asympt.mac   Note technique : On remarquera que sur ces droites, construites sur la base de points à l'infini, on ne peut pas poser de points sur objet. En fait ces points sur objet sont construits à l'infini, on peut ainsi mesurer l'angle entre les asymptotes. Il reste que l'on peut prendre l'intersection de ces asymptotes avec d'autres objets, ce qui est l'essentiel.

Diamètres conjugués et tangente

Généralités : quand un espace est muni d'une structure euclidienne et d'une forme quadratique q, on réserve le terme d'orthogonalité (sans précision) pour le produit scalaire, et on parle de vecteurs conjugués quand ils sont orthogonaux pour la forme polaire associée à q.

Le théorème spectral en géométrie euclidienne assure qu'il existe toujours une base orthonormale conjuguée pour q. On sait que ce sont les directions propres de l'opérateur associé, aussi appelées axes principaux de la quadrique q(x) = a.

Directions conjuguées et rayons conjugués   Le milieu des cordes parallèles à un diamètre d'une conique est la direction du diamètre conjugué. Il suffit de tracer, à parti des points constituants de l'ellipse, deux cordes parallèles à un rayon [OA]. Le rayon conjugué est porté par la droite passant par le milieu de ces cordes. Pour l'ellipse, le diamètre conjugé est fourni par l'intersection avec la conique.

Dans le cas de l'hyperbole la droite portant le rayon conjugué ne coupe pas l'hyperbole. La longueur d'un rayon conjugué se construit alors en utilisant les asymptotes. Soit [AA'] un diamètre dont on cherche le diamètre conjugué. La tangente à l'hyperbole en A coupe l'asymptote en T et T'. Soient B et B' telque OATB et OAT'B' soient des parallèlogrammes, alors le conjugué de [AA'] est [BB']. Note : la construction de (TT') est aisée car une des propriétés de la tangente est que A est milieu de [TT']. DiaConj.fig.(la figure contient les deux cas)

Tangente en un point d'une conique D'aprés le rappel précédent, il est clair que la tangente en un point A a pour direction le diamètre conjugué du rayon [OA]. La seule connaissance de la direction du diamètre conjugué suffit. Comme on dispose déjà du centre, une seule autre corde est à tracer. La macro Tangente en un point (fichier TgtePtCn.mac). Note technique : la macro proposée est construite de telle manière qu'elle s'applique également à 4 des 5 points constituants de la conique (on ne peut prendre la tangente en le second point constituant).

Pôle d'une droite

Si on souhaite faire soit même les figures suivantes, on aura besoin de :

Charger les macros Centre d'une conique, Diamètre conjugué, Division harmonique et Polaire d'un point.

Une première expérience

À partir d'une conique, prendre son centre O et une droite passant par O. Choisir un point sur objet M de cette droite et tracer la polaire de M par rapport à la conique.

Observation : Quand M parcourt la droite, sa polaire est parallèle à une direction fixe qui n'est autre que celle du diamètre conjugué de la droite prise au départ (penser à la tangente par exemple quand M est sur la conique). ExpPol.fig On notera aussi que, si on note U et V les intersections du diamètre initial avec la conique, et K l'intersection de cette droite avec la polaire, par définition de la polaire, les couples (U, V) et (M, K) sont conjugués harmoniques.

Pôle d'une droite

On a déjà vu qu'étant donnée une conique, à tout point du plan (autre que le centre de la conique) lui correspond une polaire. Réciproquement, à toute droite est associé un unique pôle : le point dont cette droite est la polaire.

Construction du pôle : D'après ce qui précède, il est clair que le pôle est sur la direction conjuguée à celle de la droite. On trace donc le diamètre parallèle à la droite de base, on construit sa direction conjuguée. Cette droite coupe la conique en U et V, et la droite dont on cherche le pôle en H. Il suffit de faire une division harmonique pour trouver le pôle P entre (U, V) et (H, P). La figure PoleDrt.fig ou La macro PoleDrt.mac

 
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