Etant donnés quatres points A, B, C, D du plan, on se propose de construire les paraboles passant par ces 4 points.

Une première remarque : puisque l'intérieur d'une parabole est convexe, il faut que le quadrilatère formé par ces 4 points soit lui aussi convexe.

Combien de paraboles par 4 points ? Une approche expérimentale

En pensant à la représentation graphique d'une équation du second degrè, il est clair que par trois points il ne passe qu'une seule parabole ayant une direction d'axe donnée. Pour cette approche expérimentale dans Cabri II, nous proposons l'appareillage suivant : une droite (éventuellement plusieurs) tourne autour d'un point fixe O. Trois points A, B, C étant donnés de base, on construit la parabole passant par ces trois points et d'axe parallèle à la droite tournante (d). En ajoutant un quatrième point, et en faisant tourner (d), on observe combien de paraboles passent en général par les quatre points.

Para4F2.fig

Propriété utilisée Etant donnée une corde [AC] d'une parabole. La parallèle à l'axe de la parabole passant par le milieu I de cette corde est axe d'une symétrie oblique laissant globalement invariante la parabole, la direction de cette symétrie étant celle de la corde [AC] : on construit ainsi un point D de la parabole, par symétrie oblique. On recommence pour avoir un cinquième point E de cette parabole d'axe parallèle à (d).

La macro TestPara.mac qui, étant donnés trois points A, B, C, une droite (d), construit la parabole passant par A, B, C et d'axe parallèle à la droite.

Construction des deux paraboles passant par 4 points

La construction suivante est proposée par Michel Guillerault

L'idée est bien-sûr de construire un cinquième point de chacune des deux paraboles pour pouvoir construire une Cabri-parabole.

Etape 2 Soient U l'intersection des droites (BC) et (AD) et V celle des droites (AB) et (CD). La droite (UV) coupe (OE) en K et (OE') en K'. Alors les milieux I de [OK] et J de [OK'] sont des cinquièmes points de chacune des deux paraboles cherchées. La figure Para4pts.fig La macro Para4pts.mac qui, étant donnés A, B, C, D, construit les deux paraboles passant par ces quatre points.

Preuve

Michel Guillerault a bien entendu fourni une preuve de la construction proposée. Mais abraCAdaBRI est encore bien jeune, on lui pardonnera pour cette fois : promis, il ne fera plus des caprices de gamin en demandant aux artistes réalisés "dis, M'sieur, dessine moi une parabole passant par 4 points".

Texte original (pour les autres artistes) : il suffit d'écrire l'équation générale des coniques passant par 4 points (faisceau linéaire de coniques) et d'imposer ensuite à ces coniques d'être des paraboles. Ici, on a choisi (OA) et (OB) comme axe.

Note : Dans la partie "Par type" du dossier sur les coniques, abraCAdaBRI proposera une construction, basées sur des exercices de notre référence "Lebossé et Hémery", utilisant un point de vue et des résultats géométriques plus élémentaires.

Un cas particulier intéressant

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