Réciproque pour la ligne de niveau MF + MF' = SS' (SS' > FF')

S et S' sont donnés, et on note O leur milieu. Soient F et F' deux points du segment [SS'], symétriques par rapport à O (F appartient au segment [OS]). Ce qui précède permet d'affirmer qu'il existe un unique point K de (SS') tel que le cercle de diamètre [SS'] soit une ligne de niveau MF/MK = e. K est extérieur au cercle, puisque sur une tangente. Ce même cercle, par symétrie par rapport à la médiatrice de [SS'], est aussi la ligne de niveau MF'/MK' = e, où K' est le symérique de K par rapport à O. On suppose donc que MF + MF' = SS' et on veut montrer que M appartient à la conique de foyer F de directrice la perpendiculaire à (FF') passant par K et d'excentricité OF/OS.

Par construction de K, on sait que . Soit e ce nombre (0 < e < 1).

M se projette en P sur (FF') et en H et H' sur les droites D et D', perpendiculaires en K et K' à (FF'). On peut donc écrire :

Ce qui peut aussi s'écrire :

Or e(MH' + MH) = eHH' = SS' = MF' + MF. Il en résulte alors (MF' - MF) = e(MH' - MH). On a donc le système suivant :

Réciproque pour la ligne de niveau |MF' - MF| = SS' (SS' < FF')

F et F' sont donnés de milieu O. S est un point intérieur au segment [FO] et S' son symétrique par rapport à O. Prenons un point M qui vérifie une des deux alternatives de la valeur absolue donnée en hypothèse: MF' - MF = SS'. K est construit comme dans les lemmes précédents, à partir de F extérieur au cercle de diamètre [SS']. K est entre S et S' ainsi que son symétrique K' par rapport à O. Notons D et D' les perpendiculaires à (FF') en K et K'.

Les mêmes calculs que précédemment aboutissent encore, avec les mêmes notations, à la relation déjà détaillée ci-dessus :

Montrons que cette expression induit que M est du même côté de F par rapport à la droites D (et donc par rapport à D et D') :

Tout d'abord M est du même côté que F par rapport à la médiatrice de FF', perpendiculaire à (FF') en O, puisque MF' > MF.

Supponsons alors que M soit entre cette médiatrice et D - c'est-à-dire P entre O et K et donc OP < OK. Montrons que l'on arrive à une contradiction.
En effet, dans ce contexte MF' + MF > FF' = 2 OF. L'égalité ci-dessus implique alors que MF' - MF < 2 OP. Or on est dans l'hypothèse MF' - MF = 2OS et OP <OK (<OS). D'où la contradiction.

Ainsi M est bien du même côté que F par rapport à D (et D'), soit MH' - MH = HH'.

Les calculs algébriques précédents sont encore valides, et on aboutit naturellement à

Cette fois-ci, d'après ce qui précède e(MH' - MH) = eHH' = eKK' = SS'.

On arrive alors au même système que ci-dessus, par des arguments (en apparence) différents, et aux mêmes conclusions numériques :

MF = eMH et MF' = eMH', autrement dit

M appartient à la conique de directrice D, de foyer F et d'excentricité e = OF/OS > 1 (ou encore de directrice D' et de foyer F').

On ferait de même pour un point M vérifiant l'autre alternative de la valeur aboslue de l'hypothèse. On aurait des arguments identiques (ou symétriques) pour aboutir à la même conique.

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