Consèquences d'une tangente cachée

I est un point d'un rayon [OA] d'un cercle et U et V les intersections de ce cercle avec la perpendiculaire à la droite (AO) en I. On construit P le symétrique de I par rapport à la droite (AU). Alors (PU) est tangente au cercle en U. Preuve : L'angle AVU est égal à la moitié de l'angle AOU par un argument d'angle au centre interceptant un arc donné (On a pris I sur le rayon pour que cet angle soit aigu). Comme le triangle UAV est isocèle, il en est de même de AUI. Donc en prenant le symétrique P de I par rapport à (AU), on construit un angle PUI qui est égal à UOI, lui-même complémentaire de IUO. Donc PUO est droit.

Conséquence 1 : Soit K l'intersection de (PU) et (AO). Le triangle KUO est droit. On a donc, par relation métrique dans le triangle rectangle, OI.OK = OU² = OA ². (OA est moyenne géométrique de OI et OK).

Cette égalité permet d'écrite l'égalité de rapport : OI/OA = OA/OK, ou encore OI/OK = (OI/OA)².

Conséquence 2 : Soit un cercle de diamètre [AB], O son centre et I un point entre A et O. On sait que ce cercle est une ligne de niveau de type MI/MK = k. On sait de plus que pour tout point M du cercle, les droites (MA) et (MB) sont les bissectrices intérieure et extérieure du triangle KMI.

La construction précédente est donc celle du point K qui correspond à cette ligne de niveau, puisque, par construction de P, (UA) est bissectrice intérieure de KUI.

Autre point de vue de cette construction de K

A et B sont des points de cette ligne de niveau, donc le point K, qui doit vérifier MI/MK = AI/AK doit aussi vérifier AI/AK = BI/BK, soit en particulier AK/BK = AI/BI. Ainsi K, qui est à l'extérieur du cercle puisque I est à l'intérieur, est à l'intersection des droites (AB) et (A'B') comme construites ci-dessus. Sur cette illustration, on à aussi fait figurer P le symétrique de I par rapport à (AU). On voit que c'est le point de contact avec le cercle centré en A qui a permis la construction de K. On montrerait facilement (mais un peu long à écrire) que K est le centre d'homothétie des trois cercles pris deux à deux. On retiendra en pratique que K est simplement l'intersection de (AB) avec la perpendiculaire à (OU) en U.

Cas où le point donné est à l'extérieur du cercle

D'après ce qui précède, si un point K est à l'extérieu d'un cercle de diamètre [AB]. La construction de la tangente (KU) détermine le point I sur (AB) qui est tel que ce cercle soit une ligne de niveau MK/MI = k.

Dans ce cas, par construction la droite (UI) est bien entre A et B.

Menu général