- Exemple 2 -

Coniques dont on connait une directrice et trois points

Dans la page précédente, on a vu que le lieu des foyers d'une conique dont on connait une directrice et deux points est un cercle. Pour trois points, les foyers possibles seront l'intersection de deux cercles.

La figure est donc élémentaire à construire, au moins pour le cas général. Vous aurez besoin de la macro standard sur les coniques monofocale pour finir la figure :

La macro CnkDFA1.mac qui construit la conique à partir des objets initiaux D, F, et un point de la conique.

Les foyers solution comme intersection de 2 cercles

En notant encore U et V les projections orthogonales de A et B sur la directrice, et W celle de C, les constructions vues à la page précédente aménent tout naturellement à la figure ci-contre : pour passer par A et B, le foyer doit être sur le cercle de diamètre [MN], et pour passer par B et C il doit aussi être sur le cercle de diamètre [PQ]. On exclu ici le cas particulier où l'une des trois droites (AB), (BC) ou (AC) serait parallèle à la directrice : le cercle serait alors remplacé par la médiatrice des deux points concernés. On peut s'amuser à verifier que le troisième cercle, de diamètre [RS] construit à partir des points A et C est bien concourant aux deux autres, comme ci-dessous :

On observera par ailleurs qu'il peut ne pas y avoir de solution : les cercles peuvent être soit disjoints, soit l'un contenant l'autre, selon les positions des points et de la droite. À partir des deux foyers possibles F1 et F2, on applique la macro de tracé de Cabri-conique :   CnkD3pt.fig.   Charger la macro Coniques par directrice et 3 points correspondante (fichier CnkD3pt.mac).

Les cas particuliers - utilisation usuelle

En plus du cas général précédent, pour être exhaustif, il faudrait traiter le cas où deux points forment une droite parallèle à la directrice. En pratique, comme les trois points ne peuvent pas être alignés, il n'y a qu'un cas à traiter: il suffit de donner les points d'application de la macro dans le bon ordre.

Or un cas est déjà traité, celui où la droite (AC) est parallèle à la directrice puisque nous n'utilisons pas la droite (AC) dans la figure - et la macro - ci-dessus. Donc, en pratique, si deux des trois points sont par construction sur une droite parallèle à la directrice, il suffit d'appliquer la macro précédente en les désignant comme premier et dernier point.

Cette approche des cas particuliers est largement suffisante en pratique. Ce qui suit n'intéresse que les personnes concernées par l'évolution des transpositions informatiques de Cabri II.

Les cas particuliers - approche "hacker"

On peut aussi argumenter que tous les cas ne seront traités que si on autorise les objets de base A, B, et C à vérifier (AB) // D ou (BC) // D et non pas se contenter d'appliquer la macro précédente à des situations connues d'avance.

L'idée qui vient naturellement est d'appliquer deux fois la macro générale vue à la page précédente (LFCnkDAB.mac) qui renvoie comme lieu du foyer d'une conique de directrice D passant par A et B, un cercle en général et le cas particulier de la médiatrice de A et B quand (AB) // D.

Hélas les choses ne se passent pas comme on aurait pu l'espérer :

À gauche l'intersection des deux cercles donnent les deux foyers à partir desquels on a tracé les coniques passant par A : par constructon elles passent par B et C. À droite, en déplaçant A d'un pixel pour se retrouver dans le cas limite où (AB) // D, la macro précédente a fonctionné, mais l'intersection du cercle avec le cercle disparu - de centre un point fini et de rayon infini - existe encore et n'est pas à l'intersection avec la droite limite. On remarquera que la conique ne passe que par le point de construction.

On évitera donc l'utilisation d'intersection d'objets pouvant "passer par l'infini", celle-ci posant problème. On construira plutôt les cas particuliers à la main, comme ci-dessous, dans le cas ou (BC) // D :

Pour cela, on utilise, comme à la page précédente, la macro Parall.mac qui rend compte du parallélisme de deux droites. On peut choisir d'utiliser comme point référent un des points définissant la droite (ci-dessus le point B) et prendre ensuite une médiatrice, plutôt que de prendre un point construit sur la droite (comme le point Q) et une droite orthogonale à la directrice.

Lancer la figure CnkD3ptG.fig qui tient désormais compte des cas particuliers.

Rappel : Malgrès une continuité perceptive de la figure - car Cabri réagit trés vite - il y a bien trois paires de coniques qui existent exclusivement les unes des autres.

Charger la macro Coniques par directrice et 3 points (Géné) (fichier CnkD3ptG.mac).

Résumé de la situation : Cabri II, qui n'a jamais annoncé être un logiciel "projectif", a, dans ses traitements à l'infini, des prolongements des cas euclidiens qui stablisent le comportement des figures dans leur manipulation directe, et par là même renforce la pertinence d'un travail en manipulation directe par des élèves.
Toutefois, ces traitements de l'infini ne semble pas encore être de véritables outils de géométrie "de l'infini" pour aborder, par exemple, les coniques de manière unificatrice, comme nous avions cru pouvoir le faire dans ces pages.
Il s'en faut pourtant de peu : la gestion des points sur "objet-passant-par-l'infini" et des intersections entre objet fini et ayant un point à l'infini : ce sera probablement pour une prochaine version.

On retiendra également que cette partie "hacker" de la page ne concerne - en pratique - que des cas d'école, l'argument développé dans la partie précédente est amplement suffisant pour une utilisation ordinaire dans des problèmes de construction.

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