1 - Premières Macros issues de la définition monofocale

On commence par construire une macro qui à partir d'une droite D, et de deux points F et A, donne l'unique conique de directrice D, de foyer F et passant par A. La donnée du point A est équivalente à celle de l'excentricité traditionnelle dans cette présentation, et elle a un intérêt évident de manipulation directe. Cette macro est construite dans un souci de généralité, c'est-à-dire fonctionnant pour toute valeur de l'excentricité.

Deux approches classiques sont proposées pour cette construction :

• celle utilisant la notion de cercles associés à une droite dans un rapport donné (avec démarche exploratoire)

• celle basée sur le (premier) théorème de Poncelet qui est montré au passage. On aboutit donc à deux macros possibles qui seront toujours utilisées dans les items de construction.

Cette introduction se poursuit par une construction de coniques par Foyer, Directrice et excentricité, avec un curseur pour l'excentricité. Comme application, on illustre la similitude des coniques de même excentricité ... même si c'est une évidence.

Elle se termine par une preuve géométrique (ie sans utiliser de calculs autour de l'excentricité) de l'existence d'un axe de symétrie autre que l'axe focal, et donc d'un centre de symétrie, pour les coniques d'excentricité différente de 1. On verra dans la partie bifocale que ces arguments permettent de construire les foyers, pour peu que l'on sache lequel des deux axes est l'axe focal ... ce qui n'est pas une évidence en géométrie dynamique.

2 - Tangentes à une conique

Trois pages pour trois constructions standards sur les tangentes à une conique définie par foyer, directrice et excentricité.

La construction d'une tangente en un point (par Poncelet) revient sur la propriété liant le foyer, la tangente et la directrice, dans un contexte général sans considération de type de conique.

Les deux applications de cette propriété sont à considérer comme des exercices intéressants sur les homothéties :

• Tangentes parallèles à une droite donnée (par les cercles associés).

• Tangentes issues d'un point (par les cercles associés)

Reste qu'en illustrant ces considérations, nous sommes assez éloigné des potentialités d'un outil de manipulation directe des coniques : Cabri sert ici seulement de témoin : on vérifie de manière perceptive que les droites tracées sont bien des tangentes à la conique ... Que l'on se rassure, d'autres réjouissances sont à venir ...

3 - Exemples d'utilisation

Des macros permettant la construction de Cabri-coniques à partir de leur définition monofocale étant réalisées, les exercices de construction prennent une saveur particulière du fait que l'on peut construire le résultat mathématique cherché comme objet à part entière, ce qui autorise de nouvelles manipulations dynamiques par la prise de points sur objet par exemple ...

La dynamique de Cabri donne aussi parfois une nouvelle motivation à l'approfondissement du détail de certaines constructions qui doivent être correctes ... dans tous les cas de figure. C'est ainsi que l'on verra apparaître, à l'occasion, un soupçon de géométrie logique pour rendre compte de la solution d'une manière Cabri-correcte.

Trois exemples sont proposés, dans leurs dimensions dynamiques :

• Lieu des foyers F des coniques dont on connait deux points A et B donnés et de directrice D, associée à F. Cette exercice comprend une part de comportement logique qu'il est nécessaire d'introduire dans le cadre d'un traitement dynamique des solutions.

• Construction d'une Cabri-conique dont on connait une directrice D, et trois points.

• Construction d'une Cabri-conique définie par son foyer F, et trois points.

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