Introduction 3 - Construction par D, F et excentricité

Dans les pages précédentes on a favorisé l'approche par directrice, foyer et un point, ce qui donnait l'excentricité. Mais un déplacement du point modifie l'excentricité. Dans cette page on s'intéresse à la définition numérique en remplaçant le point par la valeur effective de l'excentricité.

Réalisation de la figure

À partir d'un curseur donnant l'excentricité e, on commence, avec des arguments d'homothétie par exemple, à construire le sommet de la conique compris entre le foyer et la directrice. Ci-dessous FM = Oe et KN = 01 .

Comme les macros de Cabri-conique par D, F, A sont opérationnelles même si le point A est un sommet de la conique, on peut appliquer l'une de ces macros à la figure précédente.

Si vous souhaitez faire la figure (proposée ci-dessous), vous aurez besoin de :

La macro CnkDFA1.mac que l'on applique à la situation illustrée au dessus.

Exemples d'utilisation

Cette figure peut elle-même être transformée en macro :

Charger la macro Conique par D, F, e (fichier "CnkDFe.mac") d'objets initiaux respectifs 0, 1, e, D et F. Cette macro servira pour effectuer la figure ci-dessous.

Similitude des coniques de même excentricité

Dans le cas des coniques à centre, on souhaite mettre en évidence - expérimentalement - le fait que deux coniques de même excentricité sont semblables.

La méthode est adaptable au cas de la parabole. Mais comme on sera amené à prendre un point sur objet, compte tenu de la remarque précédente ce point n'existera de toute façon pas dans tous les cas de coniques, d'où cette petite limite technique.

Soient deux coniques de même excentricité (la seconde construite par la simple application de la macro précédente). Elles sont supposées à centre, donc leurs axes focaux, d'intersection I, les coupent en deux points S₁, S'₁ pour celle de directrice D₁ et de foyer F₁, S₂, S'₂ pour l'autre, de directrice D₂ et de foyer F₂.

On peut aussi

Lancer la figure CnkDFe2a.fig de départ pour cette activité.

Si on cherche une similitude directe qui envoie l'une sur l'autre, cette similitude enverra un axe focal sur l'autre donc les sommets respectivement.

On sait qu'une similitude qui transforme A en A' et B en B' a pour centre l'autre intersection que I (cas généra) des cercles circonscrits à AA'I, BB'I, si on note I l'intersection des droites (AB) et (A'B').

Soit alors O cette autre intersection des cercles circonscrits à S₁ S₂I et S'₁ S'₂I.

On s'intéresse à une éventuelle similitude qui transformerait la seconde conique, indicée 2, en la première, indicée 1. On se propose de construire l'image d'un point M de cette conique. La similitude retenue est celle de centre O dont l'image de S₂ est S₁.
Elle se décompose en la rotation de centre O qui transforme S₂ en U et l'homothétie de centre O qui transforme U en S₁. Pour appliquer la rotation, on la décompose en deux symétries orthogonles, d'axe D et D', ou D est la bissectrice de S₂OS₁ et D' la droite (OS₁).
L'image de M par la rotation est le point P (et N est l'image intermédiaire de M par la symétrie s_D). La tranformée de P par l'homothétie est le point M'.

Et la trace de M' quand M décrit la première conique recouvre la seconde conique. Nous avons bien construit expérimentalement la similitude qui transforme une conique en une autre ...

Lancer la figure CnkDFe2b.fig finale.

Remarque : ce thème a été l'occasion d'utiliser les macros précédentes pour faire de jolies figures, avec une démarche effectivement présentables à des élèves, mais la preuve du résultat reste élémentaire. Question : fallait-il alors en faire une jolie page ?

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