Introduction 2 - Macro par le théorème de Poncelet

Rappel d'un résultat sur les lignes de niveau

Soit ABC un triangle. La ligne de niveau en M définie par MA/MB = CA/CB est le cercle diamètre [IJ] comme construit ci-dessous.

On sait alors que (CI) et (CJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle C du triangle. (Preuve par relations barycentriques et "formules de sinus"). Il en résulte que les angles JCA et BCU sont égaux.

Nous allons utiliser ce résultat pour construire un point C d'une conique à partir d'un autre point A. Pour cela observons une telle conique :

J est un point de la directrice. La droite (JA) recoupe la conique en C. L'excentricité de la conique s'écrit : Il en résulte donc les égalité : C'est-à-dire que (FJ) est bissectrice de l'angle AFC. Ce résultat (c'est le thèorème de Poncelet) permet de construire l'intersection de la conique et de la droite (JA) : c'est le point C de la droite pour lequel (FJ) est bissectrice de l'angle AFC. Remarque : On observera à l'occasion que la bissectrice n'est intérieure que dans le cas où les deux points A et C sont sur deux branches différentes de la conique.

Construction de la macro

Il faut transformer cette construction en macro. La seule particularité à observer est dans le choix du point J : il faut que la droite (JA) recoupe toujours la conique, et surtout que J, A et F ne puissent jamais être alignés afin que le point C ci-dessus existe toujours.

On remarquera aussi que le point A peut être à priori sur l'axe focal, c'est alors un sommet de la conique. On peut même avoir à appliquer la macro dans ce cas précis pour certains problèmes de construction. Il convient donc de ne pas prendre le symétrique de A par rapport à l'axe focal comme second point de la conique. Cela signifie que l'on va appliquer deux fois la construction précédente, pour deux points J différents à partir du même point A. Ce qui donnera quatre points différents en utilisant les symétriques des points construits par rapport à l'axe focal. Avec le point A, on a bien une Cabri-conique.

Une première utilisation du théorème.

K et U sont les projections orthogonales de F et A sur la directrice. Le cercle de centre U passant par F recoupe la directrice en J. Si A est sur l'axe focal (FK), F, J, A ne sont donc pas alignés. Si A n'est pas sur l'axe focal, UF est rationnellement incommensurable avec les coordonnées de A et donc F, J, A ne peuvent être alignés. Soit alors A' le symétrique de A par rapport à la droite perpendiculaire à (JF) en F. La droite (FA') coupe la droite (JA) au point B cherché. On obtient un troisième point de la conique en construisant C le symétrique de B par rapport à l'axe focal. Lancer la figure PonceInt.fig partielle. On observera par exemple que (FJ) peut aussi être bissectrice intérieure. En plaçant la directrice verticale à l'écran, on vérifiera que si l'on peut positionner à l'écran les points F, J, A quasiment alignés, par construction ils ne le sont pas pour Cabri : les points B et C existent dans tous les cas de figure.

Une seconde utilisation du résultat.

On a choisit de prendre comme second point de la directrice le point J' symétrique de U par rapport à J. On construit A" comme A'. On obtient un point D, et son symétrique E fait le cinquième point de la conique. Lancer la figure CnkDFA2.fig finale. Charger la macro Conique par Dir. Foyer 1 pt correspondante (fichier CnkDFA2.mac) d'objets initiaux la directrice, le foyer F et le point A .

Tests de robustesse de la macro

Toutes les précautions ont été prises pour que la macro obtenue satisfasse aux conditions extrèmes d'utilisation. On peut reprendre, comme à la page précédente, les points suivants :

Le point A sur l'axe focal

On observera, toujours en prenant une directrice horizontale ou verticale, que la macro fonctionne correctement avec A sur l'axe focal.

Le comportement sur les paraboles

À partir d'une droite D et d'un point A, construire le cercle de centre A et tangent à la droite. Soit F un point sur objet de ce cercle. Appliquer la macro à D, F, A. On obtient une parabole. Redéfinir alors F comme point de base. En déplaçant le point, la conique devient une ellipse ou une hyperbole. Redéfinir à nouveau F comme point sur objet du cercle, la conique redevient une parabole.

Pour le plaisir : avec des hyperboles équilatères

Il ne s'agit pas de tester la robustesse de la macro, mais juste d'illustrer la qualité de Cabri II. Le cercle de centre H passant par A coupe la droite - destinée à devenir directrice - en I. Un point F du cercle de centre A passant par I est le foyer d'une conique de directrice D passant par A qui est toujours une hyperbole équilatère, de par son excentricité (racine carrée de 2). Cabri II le reconnaît...

Remerciements à Dominique Tournès pour ses essais et tests de robustesse des différentes versions des macros coniques.

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