Tangente 1 - Définition et propriétés

Dans cette page, nous illustrons simplement le passage à la limite dans le théorème de Poncelet, ce qui donne une construction pour la tangente à une conique en un de ses points.

Pour faire les figures en temps réel,vous aurez besoin de

La macro CnkDFA1.mac qui construit la conique à partir des objets initiaux D, F, et un point A de la conique.

Retour sur le (petit) théorème de Poncelet

La conique est construite avec la macro indiquée plus haut, le point A est caché. I est un point de la directrice, M de la conique. (IM) recoupe la conique en N. On a tracé le segment [IF] et la perpendiculaire à ce segment en F. Le théorème de Poncelet dit que la droite (IF) et sa perpendiculaire sont les bissectrices extérieures et intérieurs (non respectivement, cela dépend de la conique) de l'angle MFN. Quand M décrit la conique, (IF) et sa perpendiculaire sont fixes, elles restent bissectrices des angles. Rappel (d'une page précédente) : On observera que la bissectrice (IF) n'est intérieure que dans le cas où les deux points A et C sont sur deux branches différentes de la conique. TgtPonc1.fig.

Passage à la tangente

Il est clair que quand M est confondu avec N, par principe de continuité, le triangle applati a toujours la droite (IF) comme "bissectrice" de MFN. Cela signifie que : Soit une conique de directrice D, de foyer F, et M un de ses points (autre que les sommets). La tangente en M à la conique coupe la directrice en un point I tel que le triangle IFM soit rectangle en F. On dit aussi que le segment de la tangente soustendu par la directrice est vu du foyer sous un angle droit. La macro Tangente en un point d'une conique par D F M d'objets initiaux la directrice, le foyer et le point d'où l'on veut la tangente (fichier TgCnkDF1.mac).

Remarque : il est intéressant de faire (ou charger) cette macro pour l'expérience suivante, relativement surprenante :

Le point I semble avoir été rejeté à l'infini puisque Cabri trouve la directrice et la tangente parallèles, mais a néanmoins construit la droite passant par I et M. Cela illustre la sophistication du traitement de la gestion de l'infini dans Cabri II qui, décidément est beaucoup plus qu'un logiciel de géométrie euclidienne.

Ce point est encore plus marquant quand on effectue de vraies traitements projectifs - des passages à l'infini "volontaires" - comme dans les pages relatant la conférence de Michel Guillerault à l'Université d'été sur Cabri de Juillet 96.

Enfin on remarquera que cette construction est totalement indépendante de la nature de la conique. Elle s'applique aussi bien aux coniques à centre qu'aux paraboles.

Une application immédiate

Puisqu'une conique est définie par une directrice, son foyer associé et un point, ce point peut être construit, par la proprité de l'angle droit au foyer quand on connaît une tangente. Donc une conique est entièrement déterminée par une directrice, le foyer associé et une tangente, comme sur la figure ci-contre. Toutefois cette tangente peut être parallèle à la directrice, et on peut être amené à construire une conique spécifiquement dans ce cas.

Il faut alors faire intervenir une macro logique qui rend compte si deux droites sont ou non parallèles. Dans la rubrique Alice, au chapitre des Incidences, un telle macro a déjà été construite. On peut la charger (Parall.mac) pour terminer soi-même la figure : cette macro renvoie sur un point d'une des deux droites un point qui n'existe que si ces droites sont parallèles.

Or si la tangente est parallèle à la directrice, le point de contact sera un sommet de la conique. On peut donc prendre comme point de référence pour l'application de la macro Parall.mac, l'intersection de la tangente et de la perpendiculaire à la directrice passant par le sommet : si les droites sont parallèles le point logique construit par la macro est justement le sommet. On termine en appliquant la macro CnkDFA1.mac.

Pour transformer cette figure en macro, il suffit de donner la conique comme objet final dans les deux cas de figure.

Remarque : Les deux coniques construites sont deux objets bien distincts qui existent exclusivement l'un de l'autre. Les macros logiques permettent de gérer les différents "cas de figure", mais il n'y a pas unité de l'objet construit.

La figure CnkDFT.fig ci-dessus avec le traitement logique.

La macro CnkDFT.mac d'objets initiaux la directrice, le foyer et un tangente qui fonctionne dans tous les cas.

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