[1.a - Trissection de l'angle]

Cette première page de la Panoplie est structurée ainsi :

1. La construction réalisée par l'auteur

2. L'écriture (mathématiquement approximative) de cette preuve en ligne, pour une approche des idées générales.

Pour une impression de qualité, on choisira l'article original de Pierre Delezoïde, déchargeable au format Postscript Hepta.ps (104 Ko) ou au format PDF Hepta.pdf (80 Ko), ou au format TeX (en cours).
Pour le .pdf, penser à faire "enregistrer sur disque" si vous ne voulez pas lancer le plug in ....

3. Extraits d'un sujet de CAPES interne relatif à cette construction

 

Heptagone régulier par intersection d'un cercle et d'une hyperbole équilatère

Pour la construction de l'hyperbole ci-dessous, on peut utiliser la macro HypEq1.mac qui construit une hyperbole équilatère à partir de son centre, une asymptote et un point. Cette macro a été construite à la page Point de Frégier de la Conférence de Michel Guillerault.

Construction

Corps de l'article : 3 - Réalisation de l'heptagone régulier

Factorisation du polynôme cyclotomique

Les constructions possibles sont liées aux factorisations du polynôme cyclotomique .

On peut évidement factoriser ce polynôme en produit de trois polynômes du second degré de la forme X² + r_iX +1 où les r_i sont les trois zéros réels d'un polynôme de degré 3 à coefficients entiers. Cela conduit sans doute à des constructions, mais probablement longues, en particulier parce qu'une conique ne peut couper la droite réelle en trois points. Une autre façon est de chercher des factorisations en produit de deux polynômes de degré 3 dont les coefficients sont constructibles à la règle et au compas (C-constructibles). Les coefficients de ces facteurs sont nécessairement dans le corps cyclotomique K₇, engentré par w = e^2ipi/7, de dimension 6 sur Q. Le degré de ces coefficients doit diviser 6 et être une puissance de 2, c'est donc 1 ou 2. De plus l'un au moins est de degré 2 sinon le polynôme cyclotomique serait factorisable dans Q, or on sait qu'il y est irréductible.

On est donc amené à chercher s'il existe des entiers a, b, c (modulo 7) tels que les fonctions symétriques de w^a, w^b, w^c soient de degré 1 ou 2.

Avec le produit, on obtient w^a+b+c d'ordre 1 ou 2, ce qui n'est possible que si a + b + c = 0 (modulo 7), puisque (... en dernière raison) le polynôme cylotomique est irréductible sur Q. Cette condition étant vérifiée, le double produit est w^-a + w^-b + w^-c qui est le conjugué de w^a+ w^b +w^c; il en résulte que finalement, la seule condition est que u = w^a+ w^b +w^c soit de degré 2 et a+b+c = 0 modulo 7.

Le premier couple possible a = 1, b = 2 (et c = 4 =-3) convient. C'est sans doute lié au fait que l'application "carré" est une permutation des 6 zéros du polynôme cyclotomique qui est décompée en deux cycles d'ordre 3. Un calcul facile montre que u = w + w² +w⁴ vérifie u² +u + 2 =0. Les autres zéros du polynôme cyclotomique sont w³, w^-2 et w^-1 qui sont les conjugués des précédents. Avec ces considération, on arrive à :

Choix d'une conique associée

Le but est d'obtenir les zéros de , qui sont des complexes de module 1, comme intersection d'une conique et du cercle unité. Il faut pour cela ajouter un quatrième point d'affixe v (de module 1), à déterminer. Les complexes w, w², w⁴ et v sont les zéros de :

Et en multipliant par un nombre complexe non nul , on obtient le polynôme :

Il est géométriquement clair que l'on peut choisir le nombre complexe a de telle sorte que ce polynôme soit de la forme indiquée dans l'étude préliminaire (partie 2), c'est-à-dire :

Analytiquement, la seule solution possible est de choisir a tel que v = (ce qui est évidemment possible) et on vérifie que c'est effectivement une solution.

Une solution simple est de choisir, parmi toutes les coniques possibles, celle qui passe par le point d'affixe v = 1 et qui soit une hyperbole équilatère.

Construction effective

En reprenant les notations de la partie Outils analytiques, il vient a = 1, b = , 2(r + s) = 2s = = -1. On a en effet r = 0 puisque l'on cherche une hyperbole équilatère.

L'équation complexe de cette hyperbole équilatère est donc :

Cette hyperbole équilatère passe par 1, et on voit facilement de ses axes de symétrie sont dirigés par les vecteurs d'affixe 1 et i. D'aprés l'étude préliminaire, le centre a pour affixe g = . En remplaçant u dans sa valeur en fonction de g dans l'équation u² + u + 2 =0, on trouve 2g² - g + 1 = 0.

On remarque alors que comme , les points d'affixe sont les intersections de la droite d'équation x = 1/4 avec le cercle de centre l'origine et de rayon . Une fois le centre construit, l'hyperbole est entièrement déterminée. On obtient toutes les racines en prenant les conjuguées des racines obtenues.

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Extrait du sujet de CAPES Interne 1988

Le texte (abrégé)

On appelle w = exp (2iPi/7) et s le nombre complexe w + w² + w⁴. On note C le cercle trigonométrique et P₇ l'heptagone régulier convexe composé des racines septième de l'unité sur C.

a) En calculant et , déterminer s.

b) Montrer que w, w² et w⁴ sont racines de

et que w³, w⁵, w⁶ sont racines de

c) Vérifier que le produit (z-1)(z - s), regardé comme fonction de z, prend en w, w² et w⁴ des valerus imaginaires pures.

On s'interesse alors à l'ensemble K des points M d'affixe z tels que (z-1)(z - s) soit un imaginaire pur. Former une équation cartésienne de K, reconnaître cet ensemble et en proposer une construction par point (ici on dirait une Cabri-construction).

En déduire la construction de P₇.

Quelques éléments de réponse

L'ensemble K est exactement la même hyperbole équilatère que ci-dessus. Dans le repère proposé - en notatnt r(x) la racine carrée de x - son équation cartésienne est (x-1/4)² - (y - r(7)/4)² = 1/8. On obtient donc exactement la même construction que ci-dessus. La différence étant que dans le sujet de CAPES interne, il n'y a pas de phase de recherche comme ci-dessus, mais seulement les résultats : le calcul de s et la recherche l'ensemble des points K, donné à priori.

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