Lambert est aussi connu pour sa preuve de l'irrationnalité de Pi

La théorie des parallèles (1766)

Pour construire son argumentation, Lambert utilise pour figure de référence, le quadrilatère à 3 angles droits, comme l'avait déjà utilisé al-Hatyam. Il formule lui aussi 3 hypothèses concerant le quatrième angle et rejette facilement l'hypothèse de l'angle obtus.

Dans l'hypothèse de l'angle aigu, il montre que la somme des angles est inférieure à deux droits, et surtout que le défaut d'angle, le nombre (Pi - somme des angles) est proportionnel à l'aire du triangle : il est de la forme r²(Pi - A - B - C) ... en notant par le nom d'un sommet l'angle du triangle en ce point. En particulier, le défaut angulaire des triangles est additif.

Lambert voit alors que dans ce cas, il existerait une mesure absolue des longueurs, comme il en existe une pour les angles. En effet, argumente-t-il :

A un segment, on peut faire correspondre la valeur commune des angles d'un triangle équilatéral construit sur ce segment.

Il note d'ailleurs que lorsque la longueur du segment croît de 0 à l'infini, l'angle du triangle équilatéral décroit de 60 degrés à 0. Ci-contre un triangle hyperbolique équilatéral constitué de trois segments de longueur infinie dans le modèle de Poincaré : les sommets sont des points du cercle horizon, à l'infini pour ce modèle (points idéaux). : Pour trois points idéaux quelconque, l'aire du triangle hyperbolique vaut Pi..

Lambert affirme alors qu'il ne saurait y avoir, d'aprés notre intuition de l'espace, de mesure absolue des longueurs, ce qui lui permet de rejetter l'hypothèse de l'angle aigu.

 

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