Les axiomes (ou "notions communes")

1. Les grandeurs égales à une même grandeur, sont égales entre elles.
2. Si, à des grandeurs égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux.
3. Si, à des grandeurs égales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux.
4. Si, à des grandeurs inégales, on ajoute des grandeurs égales, les restes seront inégaux.
5. Si, à des grandeurs inégales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux.
6. Les grandeurs, qui sont doubles d'une même grandeur, sont égales entre elles.
7. Les grandeurs, qui sont les moitiés d'une même grandeur, sont égales entre elles.
8. Les grandeurs, qui s'adaptent entre elles, sont égales entre elles.
9. Le tout est plus grand que la partie.

Ces notions communes sont présentées dans le premier livre pour l'ensemble des 13 livres d'Euclide, en particulier pour l'arithmétique. Pour ce qui nous concerne ici, remarquons simplement que la première relève de la transitivité des relations d'équivalence, l'égalité des figures, dans le texte d'Euclide, est - d'une façon ou d'une autre - synonyme de superposabilité, celle des aires revient à l'équivalence par découpage fini.

Les notions communes suivantes (2 à 7) ne nous concernent pas directement ici, nous y reviendrons dans la partie relative aux "fondements de la géométrie" de David Hilbert.

Mentionnons toutefois qu'une autre "notion commune" - ou peut-être demande -importante dans le modèle géométrique est aussi présente sous forme de définition dans le livre V (définition 5), c'est l'axiome d'Archimède :

Des grandeurs sont dites avoir raison entr'elles, lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement.

 

Jean Luc Chabert commente la notion commune 8, relative au traitement de l'égalité, en particulier en géométrie. Il observe que deux interprétations sont envisageables :

• Deux figures superposables sont égales : cette demande justifie alors a priori les cas d'égalité par superposition.
• Deux figures égales sont superposables : dans ce cas la demande définit l'égalité elle-même par superposition.

Dans les deux cas, poursuit Jean Luc Chabert,

"Quelque soit l'interprétation choisie, comment définir la superposabilité - la coïncidence - selon Euclide ? Par un déplacement, sans doute. Et le déplacement, comment le déterminer ? Par une transformation qui conserve les formes, celles des solides en particulier, donc qui conservent les longueurs. Et la conservation des longueurs ? Par leur égalité. Et cette égalité ? Par la superposabilité ! La boucle est bouclée".

Il cite alors Henri Poincaré (dans "La science et l'hypothèse") qui commente cette demande en ces termes :

"En fait, cette définition ne définit rien; elle n'aurait aucun sens pour un être qui habiterait un monde où il n'y aurait que des fluides. Si elle nous semble claire, c'est que nous sommes habitués aux propriétés des solides naturels qui ne diffèrent pas beaucoup de celle des solides idéaux dont toutes les dimensions sont invariables".

Jean Luc Chabert poursuit alors en rappelant que de telles considérations nous sont possibles de par notre connaissance d'autres géométries qu'euclidiennes, en particulier de notre acquis que, dans d'autres géométries, à courbure non constante, le déplacement sans déformation n'existe pas.

Nous ne développerons pas au delà ici, mais rappelons, pour les lecteurs souhaitant poursuivre sur ces thèmes, que la question du lien entre la notion de mouvement et les concepts géométriques est abordée en détail - sur le plan historique -dans "L'encyclopédie des sciences mathématiques" (Tome III Volume 1 - "congurence et mouvement"). Notons à ce sujet que les axiomatiques actuelles introduisent rapidement des axiomes sur les isométries : voir celle de Jacqueline Lelong-Ferrand commune aux géométries absolues (au sens de Bolyai : euclidienne et hyperbolique) - dans le chapitre sur les géométries hyperboliques - et celle de Bachmann, plus générale, dans ce chapitre.

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