Resultat et Cabri-test | Principe de preuve | Preuve

Le cercle d'Euler est tangent aux trois cercles exinscrits et au cercle inscrit

 

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Principe de la preuve

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La preuve développée ici est celle de Y & R Sortais - La géométrie du triangle - Edition Hermann

1. Un lieu On considère un cercle de centre O et P un point extérieur au cercle. Soit R un point du cercle et d la tangente au cercle en R. À tout point M de d on associe le point N tel que (en mesure algébrique) PM.PN soit la puissance de P par rapport au cercle. Alors le lieu de N est un cercle passant par P tangent au cercle initial en l'autre point de (PR) du cercle, privé de P. Preuve par cocyclicité ci-dessous Remarque : pour la construction, il est clair que l'on construit N comme l'inverse de M dans l'inversion de centre P qui transforme R en S (d'où le cercle vert ci-contre). L'image de la tangente au cercle est alors un cercle tangent au cercle initial passant par le centre de l'inversion.

2. Le cercle d'Euler comme lieu précédent L'idée est alors de considérer l'autre tangente commune (que le côté (BC) du triangle) au cercle inscrit et à l'un des cercles exinscrit - ici celui de centre IA - et de s'intéresser au lieu ci-dessus pour chacun des deux cercles associé au même point A', milieu de [BC]. Dans les deux cas, ce lieu est un cercle tangent au cercle considéré (inscrit ou exinscrit) et passant par A'. Des relations métriques sur cette figure permettent de montrer d'une part, que c'est le même cercle pour les deux cas, et d'autre part qu'il contient également B' et C' les deux autres milieux des côtés, et donc que ce lieu est le cercle d'Euler privé de A'. Ainsi le cercle d'Euler est-il tangent au cercle inscrit et au cercle exinscrit associé au sommet A.L'argument permettant même la construction des points de contact sur les cercles de départ, sans tracer le cercle d'Euler.

Preuve

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Remarque préliminaire : pour montrer le résultat indiqué ci-dessus, on peut supposer le triangle non isocèle en A. En effet, si le triangle est isocèle en A, les trois points Q, T, A' sont confondus, les centres des cercles inscrit, d'Euler et exinscrit en A sont alignés, et donc ces trois cercles sont tangents en A'. Dans la suite, on suppose que le triangle n'est pas isocèle en A.

Etape 1 : Preuve du résultat sur le lieu

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Etape 2 : Quelques résultats métriques

Notations : A', B', C' les milieux des côtés. T et Q les points de contact des cercles sur (BC). On sait que A' est milieu de [TQ].D et E sont les symétriques de C et B par rapport à la bissectrice (AI), et donc (DE) est tangente commune aux deux cercles en R et R', images de T et Q. Enfin on note J l'intersection de (BC) et (AI). J est aussi sur (DE). La tangente (DE) coupe (A'B') en M et (A'C') en L.

Feuerba3.fig

2.a. Le milieu K de [CD] est à l'intersection de (AI) et (A'B'). Tout d'abord K est sur la médiatrice de [CD], comme ACD est isocèle en A, cette médiatrice est la bissectrice (AI). Donc K est sur (AI). Par ailleurs, dans BCD, le théorème des milieux abouti à ce que K soit aussi sur (A'B'). 2.b. A'K = A'T = A'Q. En effet A'K = BD/2 et BD = AT. Un calcul classique de CT en fonction des côtés du triangle aboutit (pour AB>AC) à A'K=A'T = (AB-AC)/2. 2.c. En mesure algébrique (ema) A'M.A'B' = A'K2 = A'L.A'C'. Thalès dans JAB donne (ema) A'M/A'K = BD/BA. Mais A'K/A'B' = BD/BA (par les milieux), d'où A'M/A'K =A'K/A'B' soit la première égalité. Pour la seconde, on peut dire qu'en angle de droites on a : (ML, MB') = (DE, AB) = (AC, BC) = (CA, CB) = (C'A', C'B') = (C'L, C'B') D'où (ML, MB') = (C'L, C'B'), soit C', L, M, B' cocycliques, d'où le résultat par la puissance de A' par rapport à ce cercle.

Etape 3 : Preuve du théorème

Le triangle ABC n'étant pas isocèle en A, A' n'appartient ni au cercle inscrit ni au cercle exinscrit en A, ni à la tangente (DE).

La puissance de A' par rapport à chacun de ces deux cercles est la même puisque A'T2 = A'Q2 = A'K2.

Pour chacun des deux cercles les points M et L appartiennent à leur tangente (DE) et, par la relation 2.c, on peut dire que B' et C' appartiennent à un cercle tangent à chacun deces cercles et passant par A' : c'est l'étape 1 appliquée à chacun de ces deux cercles pour le point A' et la tangente (DE).

Ce cercle est le cercle d'Euler, qui est donc tangent au cercle inscirt et au cercle exinscrit en A. Comme c'est aussi le cas si le triangle est isocèle en A, c'est vrai dans tous les cas, et pour les deux autres cercles exinscrits.

Feuerba4.fig

Bien-sûr une preuve par inversion serait plus adaptée ...

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