Droites de Steiner - Parabole tritangente

Droites de Simson et Steiner
2 - Parabole tritangente à un triangle

[1 - Généralités] [3 - Point de Miquel d'un quadrilatère complet et Parabole]
[4 - Enveloppe des droites de Simson] [5 - Autres propriétés de ces droites]

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On vient de voir que :

Les symétriques d'un point par rapport aux trois côtés d'un triangle sont alignés si et seulement si ce point appartient au cercle circonscrit au triangle. Dans ce cas, la droite passant par ces trois points s'appelle la droite de Steiner.
Cette droite passe par l'orthocentre du triangle.

Soient alors trois tangentes issues de trois points M, N et P d'une parabole de foyer F et de directrice d. On sait que les symétriques de F par rapport à chaque tangente appartient à la directrice. Ils sont donc alignés, et ainsi F appartient au cercle circonscrit au triangle ABC formé des intersections des tangentes prises 2 à 2, et la directrice est la droite de Steiner pour le triangle ABC associé au foyer de la parabole. La directrice passe donc par l'orthocentre du triangle.

Réciproquement

Soient ABC un triangle et F un point de son cercle circonscrit, autre que les points A, B, et C. Alors la parabole de foyer F et de directrice la droite de Steiner de F relative au triangle est nécessairement tritangente aux côtés du triangle.

Une autre approche, avec des arguments seulement affines, des parabole tritangentes à un triangle est proposée dans abraCAdaBRI à cette page en application du théorème de Carnot. On y retrouvera alors l'ellipse de Steiner.

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[4 - Enveloppe des droites de Simson] [5 - Autres propriétés de ces droites]

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