Objectifs de la page

On s'intéresse aux paraboles tritangentes à un triangle, et à leur constructions affines, en particulier à partir du point cévien L.

  Expérimentation : CarPar01.fig (déplacer L, on a toujours une parabole)

Construction par calcul barycentrique - Construction par des considérations projectives - Expérimentation sur le lieu du point cévien -

Preuve barycentrique du résultat précédent - Preuve algébrique

Construction par un calcul barycentrique direct

On a déjà vu, lors de la preuve barycentrique de Carnot, qu'en notant - en mesure algébrique - p = PB/PC et q = QC/QA, on obtient une parabole ssi p = (q-1)/q ou encore q = 1/(1-p), et alors r = (p-1)/p. Ce qui permet une première construction.

 

P étant donné, on cherche à construire Q tel que - en mesure algébrique - QC/QA = PC/BC. On peut procéder comme ci-contre : projection selon (AB) pour obtenir B' (définitif) et P1 intermédiaire. P1 donne P' par translation. L'homothétie qui transforme B' en A et P' en C transforme alors B en le point Q cherché.   On en déduit la figure ci-dessous. Et on a aussi RB/RA = PB/CB.

CarPar02.fig

Construction par des considérations projectives

On conserve les notations de la preuve barycentrique de Carnot, en notant - en mesure algébrique - p = PB/PC, q = QC/QA et r = RA/RB, on a ainsi, dans le repère affine (A, B, C), les coordonnées barycentriques P(0, 1, -p), Q(-q, 0, 1) et R(1, - r, 0). Nous avons vu alors qu'il y a une conique tritangente au triangle en P, Q, et R ssi pqr = -1.

CarParEx.fig

Nous allons montrer que dans le cas où la conique est une parabole, ces trois droites sont parallèles. En effet, la conique est une parabole ssi elle est tangente à la droite de l'infini en un point S. En raisonnant dans le triangle BIABIBC, on voit que les droites (BS), (IABP) et (IBCR) sont concourantes en un point I. (IAB désignant le point à l'infini dans la direction (AB)) Dans le plan affine, BPIR est le parallèlogramme évoqué plus haut, et (BI) est alors la parallèle à l'axe de la parabole - lieu des centres en projectif). De la même façon, les droites (CJ) et (AK) sont ausi parallèle à l'axe de la parabole, et ainsi les trois droites (BI), (CJ) et (AK) sont parallèles quand la conique est une parabole, comme illustré dans la figure ci-dessus (réciproque pour l'équivalence dans le calcul analytique suivant ?).

 

Traduction analytique : les droites sont parallèles ssi le déterminant ci contre est nul soit ssi q(1-p) = 1, ce qui est le résultat obtenu à la partie précédente, on peut en déduire la même construction.

Construction par calcul barycentrique - Construction par des considérations projectives - Expérimentation sur le lieu du point cévien -

Preuve barycentrique du résultat précédent - Preuve algébrique

 

 

 

Lieu du point cévien et construction réciproque

Le lieu du point de concours L est une ellipse passant par les trois sommets - privée de ces 3 points. Quelques expérimentations simples montrent facilement que c'est l'ellipse de Steiner circonscrite au triangle.   Pour une vérification expérimentale, on s'intéresse donc à la construction réciproque (ci-dessous) où L est un point de l'ellipse de Steiner circonscrite, construite par 5 points, en utilisant simplement que son centre est le centre de gravité du triangle. La vérification avec Cabri est aisée :avec la macro "conique par 2 tangentes leurs contacts et un point on construit la conique à partir du point L, et Cabri confirme que c'est toujours une parabole.

CarPar04.fig

 

Preuve barycentrique du résultat précédent

Avec les notations précédentes, la droite (AP) a pour coordonnée tangentielle (0, p, 1) et la droite (BQ), (1, 0, q). Le point L de leur intersection a pour coordonnées barycentrique (pq, 1, -p).

L'équation de l'ellipse de Steiner circonscrite est xy+yz +zx = 0. Ici, le premier membre vaut pq - p - p²q ce qui est bien nul compte tenu de l'hypothèse q = 1/(1-p) puisque l'on a une parabole.

Réciproquement tout point de l'ellipse de Steiner, autre que les sommets, a des coordonnées barycentriques de la forme (x, 1, -z) avec z différent de 1 et différent de 0. Alors x est de la forme z/(1-z) donc de la forme pq avec p = z et q = 1/(1-z). On retrouve ainsi tous les points de l'ellipse autre que les sommets du triangle comme point d'intersection des droites (AP) et (BQ).

Preuve plus algébrique (par Pierre Delezoïde)

Soit (u, v, w) un système de coordonnées barycentriques de L. Une équation barycentrique de (AL) est y/v = z/w et un systèmee de coordonnées barycentrique de P est (0, v, w). On obtient des valeurs analogues pour les deux autres points.

L'équation barycentrique de la conique tangente aux côtés du triangle en P, Q et R est :

On vérifie en effet par exemple que l'intersection avec la droite (BC), d'équation x=0, est donnée par l'équation , et donc que le point P est intersection double.

Cette conique est une parabole ssi elle est tangente à la droite de l'infini d'équation barycentrique x + y + z = 0. La matrice de la conique est :

La conique tangentielle associée a pour matrice A^-1. Un calcul facile de résolution de système linéaire donne cet inverse, c'est :

Et par conséquent la droite de l'infini est tangente (ie la conique est une parabole) ssi uv + vw + wu = 0, c'est-à-dire ssi le point L se trouve sur la conique de Steiner circonscrite au triangle.

Remarque : l'intérieur de l'ellipse de Steiner est l'ensemble des points L pour lesquels la conique tritangente en P, Q, R est une ellipse, et l'extérieur est l'ensemble des points L pour lesquels la conique est une hyperbole.

Pour une vérification expérimentale on peut reprendre la figure précédente et redéfinir le point L comme point de base.

Construction par calcul barycentrique - Construction par des considérations projectives - Expérimentation sur le lieu du point cévien -

Preuve barycentrique du résultat précédent - Preuve algébrique

 

 

 

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