Théorème de Carnot

8 - Utilisation sur des cercles

 [1 - Aspect historique] [2 - Preuve du théorème] [3 - Cas des céviennes] [4 - Cas des points symétriques]

[5 - Cas des points doubles] [6 - Isotomie] [7 - Le cas de la parabole] [9 - Exercices sur la configuration de Carnot]

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Dans cette page, on se propose de recenser quelques résultats classiques relatifs aux cercles et au triangles qui peuvent se montrer en utilisant le théorème de Carnot sur la base qu'un cercle est une conique affine particulière.

 

Rappel des résultats précédents

 

Notations du théorème de Carnot

Soient P et P' de (BC), Q et Q' de (CA), R et R' de (AB), différents des sommets.

Alors les six points P, P', Q, Q', R et R' sont sur une même conique ssi :

Soient ABC un triangle, P, Q, R sur les côtés (BC), (CA), et (AB). Il existe une conique tri-tangente au triangle en P, Q et R si et seulement si les trois céviennes (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles.

 

Utiliz01.fig (pour la macro de construction de la conique)

Le point de Gergonne

 

Le cercle inscrit à un triangle est une conique tritangente au triangle, donc les droites (AP), (BQ) et (CR) sont parallèles ou concourantes. Elles ne peuvent pas être parallèles par des arguments angulaires (par exemple), elles sont donc concourantes en un point dit :

Point de Gergonne

Utiliz02.fig

 

Le point de Nagel

 

Puisque le cercle exinscrit associé à l'angle A - de centre IA - est tangent à (BC) en P' symétrique de P par rapport au milieu A' de [BC], les droites ainsi construites (AP'), (BQ') et (CR') sont concourantes comme isotomiques des droites (AP), (BQ) et (CR). En particulier elles sont concourantes en un point N, isotomique du point de Gergonne, appelé :

Point de Nagel.

 

Utiliz03.fig

 

Le point de Lemoine et les symédianes

 

Lemoine1.fig

On construit le triangle A'B'C' pour lequel le cercle circonscrit à ABC est son cercle inscrit, tangent en A, B et C.

Le point de Gergonne du triangle A'B'C' est appelé point de Lemoine du triangle ABC.

Théorème : le point de Lemoine est l'isogonal du centre de gravité par rapport au triangle ABC.

Preuve succinte (sera plus détaillée dans le dossier "angle et cocyclicité" quand il sera rédigé).

Il faut montrer que la médiane (AI) et la droite (AA') sont isogonales par rapport à (AB) et (AC).

Cela peut se faire par les lignes de niveau et produit scalaire. On montre par exemple - produit scalaire - que (en mesure algégrique) OA'/OM = OM/OI et alors, par somme et différence, on arrive (toujours en mesures algébriques) à

NA'/NI = - MA'/MI = k

I et A' étant donnés, la ligne de niveau XA'/XI = k est le cercle de diamètre [MN] et donc AM est bissectrice intérieure et (AN) extérieure à AIA', ce qui assure le résuultat si on sait déjà par ailleurs que dans cette configuration (AM) est bissectrice intérieure de ABC (c'est le point P1 de la page II.4 sur l'exemple du cas des points symétriques.

 

 

abraCAdaBRI est intéressé par d'autres applications des divers résultats du théorème de Carnot sur le cercle que les lecteurs pourraient avoir en tête, ici en favorisant l'approche euclidienne.

 

 

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