Le théorème dans le cas des coniques

 

Soient P et P' de (BC), Q et Q' de (CA), R et R' de (AB), différents des sommets. Alors les six points P, P', Q, Q', R et R' sont sur une même conique ssi :

  Carnot01.fig (illustration du cas particulier développé au point 4)

 

On suppose ici connu le résultat affine suivant : par 5 points distincts, il passe toujours une unique conique. Il en résulte que l'on peut considérer ce théorème comme une caractérisation de la "co-conicité" de 6 points 2 à 2 sur 3 côtés d'un triangle.

Preuve du théorème

La preuve suivante est basée sur la démarche de Pascal : une preuve dans le cas du cercle et une consèquence pour toutes les coniques par homologie. L'homologie - et la géométrie projective - n'étant pas au programme des concours de recrutement, on trouvera ici une preuve barycentrique, plus conforme aux programmes actuels.

Préliminaires à la preuve

On remarque que la propriété est de nature projective : il n'y intervient que des droites, une conique et des birapports. Pour le sens direct, il suffit donc de l'établir pour le cercle, par homologie la propriété est vraie pour toute conique. La géométrie projective et l'homologie n'étant pas au programme du CAPES, on acceptera le résultat pour le cas des coniques en général. On peut aussi choisir de se limiter au cas de l'ellipse, image d'un cercle par transformation affine; les transformations affines conservant les rapports de mesure algébrique, elles conservent naturellement les birapports. En fait les transformations affines sont les homologies qui conservent le parallèlisme (définition originelle de Moëbius).

Sens direct sur le cercle   On utilise simplement la puissance de A, B, C et la cocyclicité des 6 points par groupe de 4. Le résultat est immédiat.

Sens réciproque On utilise la méthode dite "des points coïncidents" : étant donnés 6 points P, P', Q, Q', R et R' vérifiant la relation, on considère la conique passant les 5 points P, P', Q, Q', et R. En notant U l'intersection de la droite (AB) avec la conique passant par ces 5 points, en utilisant le sens direct, on aboutit alors, en mesure algébrique, à UA/UB = R'A/R'B, ce qui signifie bien que U = R'.

 

Les cas impropres

Les coniques impropres sont soit l'ensemble vide, soit réduite à un ou deux points, soit deux droites, parallèles ou sécantes. Ici, comme on traite de coniques passant par 6 points, dont au moins trois distincts car appartenant à des côtés différents d'un triangle, les seuls cas impropres envisagés sont les cas où la conique dégénre en deux droites.

 

Rappel du théorème de Ménélaüs  Trois points P, Q, et R respectivement sur les côtés (AB), (BC) et (CA) d'un triangle - et différents des sommets A, B, ou C, sont alignés si et seulement si :

Dans le sens direct, il résulte du théorème de Ménélaüs que si 6 points sont alignés par trois sur deux droites, ils vérifient la relation de Carnot qui est donc vraie pour les cas impropres envisagés. Récipoquement ...

 

Si trois des points sont alignés  ... et les 6 points réalisant la relation de Carnot, par Ménélaüs, les trois autres sont alignés, on a donc une conique impropre formée de deux droites, sécantes ou parallèles.

Nous ne traiterons plus désormais que des cas de coniques "propres", c'est-à-dire ellipse, parabole ou hyperbole..

Une première application

Quand on montre le théorème de Pascal (dit de l'hexagramme mystique) à partir de la puissance d'un point, il faut que les intersections de toutes les droites existent. En particulier, si l'hexagone a deux de ses côtés parallèles, on ne peut montrer le résultat de cette façon. Nous avons l'occasion de montrer ici trés simplement que :

Si un hexagone a ses côtés opposés parallèles, alors il est inscrit dans une conique.

Voir aussi la preuve barycentrique classique

Carnot02.fig

On prolonge les côtés de l'hexagone pour obtenir le triangle ABC dans lequel on peut appliquer le théorème de Thalès (6 fois pour obtenir les 6 rapports de la relation de Carnot). Ainsi a-t-on et par permutation circulaire De même, à partir de , toujours par permutation circulaire : Le produit des deux expressions, donne, par le théorème de Carnot, que les 6 points sont sur une conique.

Autre illustration dans une configutation non croisée, non convexe

 

Illustration dans une configuration générale croisée

 

Centre d'une telle conique

Il est particulièrement facile à construire puisque l'on sait que le lieu des milieux des cordes parallèles à une corde donnée est une droite (ou un segment). L'intersection de deux tels lieux est le centre de la conique, par transformation affine des médiatrices du cercle dans le cas de l'ellipse, par transformation homographique dans le cas général)

Donc ici, à partir de l'hexagone à côtés parallèles, on construit immédiatement le centre de cette conique.

Carnot03.fig

Exemple d'illustrations graphiquement esthétiques ...

Ce résultat permet de montrer simplement les centres des triangles de Morley sont, par groupe de 6, sur des coniques, comme démontré et illustré dans cette page.

Pour une illustration claire

 

Pour une illustration plus complète

Dans cette autre page, on voit que les centres de ces coniques sont eux aussi alignés par trois.

Mais revenons, par quelques cas particuliers, au théorème de Carnot lui-même ...

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