Théorème de Carnot

4 - Cas des points symétriques

 [1 - Aspect historique] [2 - Preuve du théorème] [3 - Cas des céviennes] [5 - Cas des points doubles]

[6 - L'isotomie] [7 - Le cas de la parabole] [8 - Utilisation avec le cercle] [9 - Exercices sur la configuration de Carnot]

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Notations du théorème de base

 

Théorème de Carnot

Soient P et P' de (BC), Q et Q' de (CA), R et R' de (AB), différents des sommets.

Alors les six points P, P', Q, Q', R et R' sont sur une même conique ssi :

 

Produit sur chaque côté du triangle égal à 1

Si, sur la droite (BC), on a , cela signifie que et donc - avec équivalence - que P dans le repère (B, C) a même barycentre que P' dans le repère (C, B), ou encore que P et P' sont symétriques par rapport au milieu A' de [BC].

 

Points symétriques par rapport aux milieux des côtés

Il résulte ainsi du théorème de Carnot la propriété suivante :

Théorème : Soit ABC un triangle. On considère trois points P de (BC), Q de (CA), et R de (AB) autres que les sommets du triangle, et P', Q', R' les symétriques de P, Q et R par rapport aux milieux respectifs des côtés du triangle. Alors les six points sont sur une même conique.

 

CarSym1.fig

 

Un exemple avec le cercle inscrit et les cercles exinscrits

 

Les deux coniques

 

Les contacts sur un même côté d'un triangle du cercle inscrit (orange ci-contre) et du cercle exinscrit correspondant sont symétriques par rapport au milieu du triangle.

Ceci assure l'existence d'une première conique (verte ci-contre) passant par ces 6 points.

Les contacts sur le même côté du triangle des deux autres cercles exinscrits sont eux aussi symétriques par rapport au milieu du côté.

Ceci assure l'existence de la seconde conique (en rose ci-contre) passant par ces 6 points.

 

CarSym2a.fig

CarSym2b.fig | La preuve en détail

Indications pour une preuve des résultats

Notations : A', B', C' sont les milieux des côtés, les points D, E, F sont les contacts du cercle inscrit avec les côtés du triangles, les points Di, Ei, Fi sont les points de contact des cercles exinscrits. I est le centre du cercle inscrit, IA, IB, IC ceux des cercles exinscrits

Montrons dans un premier temps que le milieu A' de [BC] est aussi le milieu de [DD1], ce qui prouve que par les six points de contact D, D1, E, E2, F, F3 il passe une conique. Pour cela, on note P1 l'intersection de la bissectrice intérieure issue de A et du cercle circonscrit à ABC, de centre O.

1. Remarquer que P1 appartient à la médiatrice de [BC].

2. Observer que les points IBCIA sont cocycliques. S'intéresser au centre de ce cercle en montrant que c'est nécessairement P1. Attention, on sera amené à traiter séparément le cas où le triangle est isocèle en A. Voir pourquoi.

3. Dans tous les cas, on en déduire que A' est milieu de [DD1]. Ceci achève l'existence de la première conique passant par 6 points.

4. On termine simplement - sans aucun calcul, par symétrie centrale - en montrant :
BD3 = BF3 = AF et que CD2 = CB2 = AE.

5. Cela signifie que D2 et D3 ont même milieu que B et C. Ceci achève l'existence de la seconde conique passant par 6 points.

Remarque : l'argumentation proposée ici vaut pour la géométrie euclidienne puisque l'on utilise des résultats angulaires de cocyclicité et la conservation des milieux par projection. Or, cette propriété de symétrie est aussi vraie dans un contexte hyperbolique, alors que les deux arguments utilisés ne le sont pas. Il serait intéressant de chercher une preuve purement métrique, applicable dans un contexte non euclidien.
 

abraCAdaBRI est intéressé par d'autres exemples d'utilisation - que des lecteurs pourraient avoir en tête - de ce cas particulier de symétrie de deux points par rapport aux milieux des côtés (la page 6 traite déjà de l'isotomie).

 

 

 [1 - Aspect historique] [2 - Preuve du théorème] [3 - Cas des céviennes] [5 - Cas des points doubles]

[6 - L'isotomie] [7 - Le cas de la parabole] [8 - Utilisation avec le cercle] [9 - Exercices sur la configuration de Carnot]

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