Aspect euclidien des coniques - définition bifocale

Autour du cercle d'Euler
[Liste des constructions euclidiennes] [Coniques dans abraJava]

 Introduction | Cercle d'euler et plus | CP + 2 tgtes | F + 1 P + 2T puis 2P + 1T | Intersection RC même F

 Centre d'Euler d'un quadrilatère et hyperbole équilatère

On suppose connus quelques résultats sur l'orthocentre H d'un triangle ABC. Par exemple :

Les symétriques de H par rapport aux droites (AB), (AC) et (BC) appartiennent au cercle circonscrit du triangle (soit O son centre).
Le milieu de [OH] est le centre du cercle d'Euler, cercle passant par les pieds HA, HB, HC des hauteurs issues respectivement de A, B, et C.
Le cercle d'Euler a pour rayon la moitié du cercle circonscrit, ainsi le cercle d'Euler est-il l'homothétique du cercle ciconscrit dans l'homothétie de centre H et de rapport 1/2.  

O et H foyers d'une conique tritangente aux côtés du triangle

Considérons la conique de foyer H et de cercle directeur le cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O. Puisque les hauteurs (AH), (BH) et (CH) coupent ce cercle en des points A', B', et C' symétriques de H respectivement par rapport aux droites (BC), (AC) et (AB), ces trois points permettent de construire les points de la conique en lesquels les côtés (au sens large) du triangle seront tangents à la conique.

On construit ainsi E1 intersection de (OB') et (AC), de même E2 et E3. Puisque le centre du cercle d'Euler est le milieu des deux foyers O et H, c'est le centre de la conique, on peut donc construire deux autres points de la conique E'1 et E'2 par symétrique de E1 et E2. Et ainsi construire la conique.

Elle est donc tritangente aux côtés du triangle. Elle a pour cercle principal, l'homothétique du cercle circonscrit dans l'homothétie de centre H et de rapport 1/2, soit, le cercle d'Euler.

Dans cette page, rendre un des angles - par exemple A pour les illustration - supérieur à un droit transforme l'ellipse en hyperbole.

Droites de Simson et de Steiner associées aux symétriques de l'orthocentre

Quelques rappels sur ces droites (dans abraCAdaBRI)


Les droites de Steiner des points A', B', C' symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle
sont respectivement parallèles au côté opposé associé du triangle orthique.

Détail de la preuve (et des suivantes) dans abraCAdaBRI

 

Droite de Steiner et directrice de la conique

 
La droite de Steiner associée au symétrique de l'orthocentre par rapport à une droite support
d'un côté du triangle coupe cette droite en un point de la directrice de la conique (J ci-dessus).

Axe radical, directrice et homothétie

 
L'homothétie de centre C qui transforme HC en H transforme K en J et donc l'axe radical des deux cercles
en la directrice de la conique associée au foyer orthocentre.

 

 

  Centre d'Euler d'un quadrilatère et hyperbole équilatère

  Introduction | Cercle d'euler et plus | CP + 2 tgtes | F + 1 P + 2T puis 2P + 1T | Intersection RC même F

[Liste des constructions euclidiennes] [Coniques dans abraJava]

Retour sur abraCAdaBRI

Retour sur "abra-Java"