Aspect euclidien des coniques - Les Paraboles

Intersections avec une droite

[Liste des constructions euclidiennes] [Coniques dans abraJava]

 Introduction | Tangentes | Propriétés angulaires | Constructions élémentaires | Autres constructions | Parabole quadritangente | Parabole et inversion

 

On suppose connu seulement la définition d'une parabole de foyer F de directrice d : c'est l'ensemble des points à même distance de F et de d. 

 

Intersection avec une droite et tangente en un point

Soit d' un droite. Si cette droite coupe la parabole, elle le fait en deux points O1 et O2 qui sont centres de cercles passant par F et tangents à d. Comme ces cercles sont centrés sur d', ils passent aussi par F' le symétrique du foyer par rapport à cette droite.

On est ainsi amené à résoudre un exercice classiquement traité par la puissance d'un point : la construction des cercles passant par deux points donnés tangents à une droite donnée. Cet exercice a déjà été abordé dans abraCAdaBRI à cette page.

On sait qu'il y a en général deux cercles solutions qui donnent ici - mais il faut voir à quelles conditions - deux intersections avec la parabole.

En fait, à chaque fois que les deux cercles existent, leurs centres sont à même distance de F que de la directrice, ce sont donc bien des points de la parabole. Or les deux cercles existent si et seulement si F et F' sont du même côté de la directrice.

Donc il y a des solutions si et seulement si F et F' sont dans le même demi-plan défini par la directrice de la parabole.

Si la droite (FF') est parallèle à la directrice, il n'y a qu'une seule solution. C'est le cas particulier où la droite d' est parallèle à l'axe de la parabole.

Cas particulier où le foyer appartient à la droite d'

Dans ce cas les points F et F' sont confondus, l'argument précédent ne joue plus. Mais il est facilement adaptable.

En effet (FF') était l'axe radical des cercles cherchés. Ici si F et F' sont confondus, cela signifie que les cercles solutions cherchés seront tangents en F, et donc que leur axe radical n'est autre que la droite orthogonale à d' en F. C'est la même droite que dans le cas général, mais ici nous avons besoin de d' pour la tracer.

Cette droite coupe la directrice en I. L'argument précédent s'adapte alors trés simplement : cette fois-ci (IF) est tangente aux deux cercles cherchés, donc IF est la longeur de la tangente issue de I. Si les cercles sont tangents à d en M et N, on a trivialement IM = IN = IF. Ce qui achève la construction.

Diamètre d'une parabole


Déplacer la poignée de d'1 pour voir le diamètre par trace du milieu des intersections

La droite (FF') est l'axe radical des cercles. Elle coupe la directrice d en un point I qui, ayant même puissance par rapport aux deux cercles, est à même distance des points de contact M et N.

Or I reste fixe tant que la direction (FF') est fixe, c'est-à-dire tant que la droite d' se déplace parallélement à elle-même : dans ce cas I est milieu des points de contact des cercles et donc projection du milieu des intersections de la parabole avec une droite de direction donnée.

Ci-contre, quand d'1 se déplace, parallèlement à d', le lieu du milieu J1 des points d'intersection de d'1 avec la parabole est une demi-droite [J0J). J0 se construit à partir de d'0 médiatrice de [FI]. Si I est l'intersection de la directrice et de la perpendiculaire passant par F à d', la demi-droite lieu de J a pour support la parallèle à l'axe de la parabole passant par I.

On a donc le résultat suivant :

Le lieu des milieux des cordes d'une parabole, parallèles à une direction fixe, est une demi-droite intérieure à la parabole et parallèle à son axe. Ce lieu s'appelle le diamètre conjugué à la direction de d'.

Remarque : Le terme de diamètre provient de la géométrie projective : c'est un diamètre au sens où le centre de la parabole est le point à l'infini dans la direction de l'axe. En ce sens cette demi-droite passe bien par le centre de la parabole.

  Introduction | Tangentes | Propriétés angulaires | Constructions élémentaires | Autres constructions | Parabole quadritangente | Parabole et inversion

[Liste des constructions euclidiennes] [Coniques dans abraJava]

Retour sur abraCAdaBRI

Retour sur "abra-Java"