Aspect euclidien des coniques - Les Paraboles

Propriétés angulaires et cordes

Soit T un point n'appartenant pas à une parabole. On cherche à construire les tangentes à la parabole issues de T.

Soit P un point de contact cherché. On sait que la tangente (TP) est médiatrice de F et de la projection M de P sur la directrice d. Donc TM = TF, ainsi les projections des points de contacts possibles sur la directrice sont aussi sur le cercle de centre T passant par F. Il y a donc au plus deux tangentes à la parabole issues d'un point.

Les points M et M' existent si et seulement si le cercle de centre T passant par F coupe la directrice d, soit, en notant H la projection de T sur d si et seulement si TF > TH ce qui est équivalent à dire que T est extérieur à la parabole. D'où le résultat :

Par un point extérieur à une parabole il passe deux tangentes à cette parabole, données par la construction précédente.

Remarque : Extérieur = la partie ne contenant pas le foyer. En utilisant l'homothétie de centre F de rapport 1/2, on peut également construire les tangentes issues de T en remarquant qu'elles passent aussi à l'intersection du cercle de diamètre [TF] et de la tangente au sommet de la parabole.

De plus (TH) - la parallèle à l'axe passant par T - est axe de symétrie de la directrice et du cercle de centre T. Donc M et M' sont symétriques par rapport à cette droite. Comme le symétrique de P appartient à la droite (M'P') on peut dire que les angles géométrique en M et M' des triangles TMP et TM'P' sont égaux. Par symétrique de chacun d'eux par rapport à la tangente correspondante à la parabole, on peut dire que les angles géométriques TFP et TFP' sont égaux.

Ceci peut se résumer de deux façons (Premier théorème de Poncelet) :

Soit T un point extérieur à une parabole de foyer F, P et P' sont les points de contact de la parabole avec les tangentes issues de T. Alors :

1 - La droite (TF) est bissectrice intérieure de l'angle PFP'.

2 - Les segment [TP] et [TP'] des tangentes sont vus de F sous un même angle.

La courbe orthoptique d'une courbe C est l'ensemble des points d'où on voit C sous un angle droit, c'est-à-dire l'ensemble des points d'où il existe deux tangentes à C orthogonales entre elles.

Pour la parabole, on a vu que (TP) et (TP') sont les bissectrices intérieures des angles MTF et M'TF. Il en résulte que l'angle MTM' est le double de l'angle PTP'. Ce dernier est droit si et seulement si le premier est plat soit si et seulement si T appartient à la directrice.

La courbe orthoptique d'une parabole est sa directrice

On notera également que la corde [PP'] passe par F et que F est le projeté orthogonal de T sur [PP'], puisque T étant sur la directrice TFP est rectangle en F. Cet argument est aussi une autre piste de preuve de ce résultat sur la courbe orhoptique, directement, sans l'argumentation angulaire précédente, en raisonnant sur le cercle circonscrit à MM'F et la position de son centre ...

La directrice est la tangente commune aux deux cercles sécant (au moins) en F. Comme I est le milieu de [AB], U est le milieu de [MN], et donc UM = UN; ce qui signifie que U est sur l'axe radical des deux cercles car la puissance de U par rapport à chacun d'eux est respectivement UM2 et UN2 qui sont égaux. D'où le premier résultat :

(UF) est orthogonal à (AB)

Il en résulte que (IP) et (UF) sont parallèles et donc que les triangles IVP et UKF sont homothétiques (au sens large de l'image par une homothétie-translation). Comme par construction UK = IV, ils sont en translation et donc, on a :

VP = KF le paramètre de la parabole

Remarque : le premier résultat est une généralisation du fait que (TF) est orthogonal à (FP) si (TP) est tangente à la parabole en P et T son intersection avec la directrice. La seconde propriété est une généralisation du résultat relatif à la sous-normale.