Adjoint d'un endomorphisme en dimension 2

 

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L'adjoint d'un endomorphisme

Dans un espace vectoriel muni d'un produit scalaire (.|.), on appelle adjoint d'un endomorphisme f, l'application f* telle que (f(x) | y) = (x | f*(y)). On sait que l'adjoint existe et que c'est un endomorphisme.

Dans la figure ci-contre, f est l'application qui envoie (u, v) sur (u', v'). L'adjoint f* est l'application qui envoie la base de départ (u, v) sur (u", v").   Manipulations : Pour une première approche, on peut s'amuser à observer quelques cas particuliers, par exemple : 1 - Conservation durang : en plaçant v' colinéaire à u', on observe f* est alors aussi de rang 1 2 - Cabri permet aussi de jouer à d'autres situations : on peut aussi placer v' sur v", alors ...   Construction de l'adjoint dans abraCAdaBRI AdjCJ.mac macro qui donne l'adjoint, et est utilisable pour vos propres figures en CabriJava

Vérification expérimentale de l'égalité des produits scalaires

Exercice de manipulation : modifier si nécessaire l'application linéaire de base (par u' et v') pour trouver un produit scalaire nul entre f(x) et y.

Directions propres de l'adjoint

On se propose d'illustrer ce résultat de base : si un sous espace vectoriel G est f-stable alors son orthogonal est f*-stable.

En dimension 2, avec des endomorphismes ayant deux valeurs propres distinctes (ie on exclu les homothéties), ce théorème prend une forme trés simplifiée :

Si un endomorphisme a deux directions propres distinctes, son adjoint a aussi deux directions propres distinctes qui sont les directions orthogonales des premières..

Dans la figure ci-dessous, f est l'application qui envoie (u, v) sur (u', v') et son adjoint f* envoie (u, v) sur (u", v"), les droites oranges sont les directions propres de f - quand elles existent - et les droites grises sont leurs orthogonales. Le vecteur w a pour image w' par f et w" par f*. 

Utilisation : En placant w sur l'une des droites grises on vérifie que les droites orthogonales aux directions propres de f sont les directions propres de son adjoint f*.

Autre illustration de la même propriété

On a ajouté ci-dessous simplement un vecteur r, orthogonal à w (r modifiable en norme), r' et r" étant ses images respectivement par f et f*

Utilisation : En placant w sur l'une des directions propres de f (orange) on voit r aller sur une des directions propres de f* (grise) ainsi que r" tandis que w' se place sur la même direction propre de f.
De même en plaçant w sur une direction propre de f* (grise), on vérifie que r et r' se placent sur l'une des directions propre de f (orange).

Symétrie vectorielle et adjoint

Rappel : un endomorphisme est dit auto-adjoint quand il est égal à son adjoint, autrement dit quand f* = f. Dans la figure ci-contre, il s'agit d'illustrer un résultat élémentaire de géométrie vectorielle euclidienne : Soit s une symétrie vectorielle. Alors s est un endomorphisme auto-adjoint si et seulement si c'est une symétrie orthogonale. Utilisation : En placant la Direction orthogonale à la base (ici en choisissant la Direction verticale), on illustre que la symétrie vectorielle devient auto-adjointe : u' et u" d'une part, et v' et v" d'autre part sont confondus.