Le théorème de Pascal

par François Rideau

L'article de François Rideau est publié dans le magazine Quadrature (n° 51 Janvier-Mars 2004).

Théorème projectif : figure Cabri II+(en ligne) ou figure Cabri II+ (à télécharger)

figure CabriJava (en ligne) ou figure Cabri II (à télécharger)

Théorème hyperbolique : figure Cabri II+(en ligne) ou figure Cabri II+ (à télécharger)

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Parmi tous les théorèmes de géométrie, le théorème de Pascal est l'un des plus fascinants. Son auteur le découvrit, paraît-il, à l'âge de seize ans! La démonstration de Pascal est à jamais perdue, mais Leibniz put la lire et il ne semble pas que ce dernier ait soulevé de graves objections ! On sait que cinq points déterminent en général une conique. Pascal donna une condition nécessaire pour que six points soient situés sur une même conique. Cette condition est aussi suffisante; la démonstration de ce fait est facile pourvu que l'on s'accorde sur le sens du mot conique. Il serait intéressant de savoir à ce sujet si Pascal avait lu les oeuvres de Pappus car je doute qu'il ait pu considérer la réunion de deux droites du plan comme une brave conique!

Théorème de Pascal. Soient a, b, c, a', b', c' six points d'un plan (projectif réel) tels que les droites bc' et b'c se coupent en u, les droites ca' et c'a se coupent en v et les droites ab' et a'b se coupent en w. Si les six points a, b, c, a', b', c' sont sur une même conique, alors les points u, v, w sont alignés sur une droite appelée traditionnellement droite de Pascal.

Habituellement, suivant naturellement les droites apparaissant dans ce théorème, on forme l'hexagone ab'ca'bc', les points u, v, w étant les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone. Le théorème de Pascal peut alors s'énoncer ainsi (voir figure):

Si un hexagone est inscrit dans une conique, les points d'intersection des côtés opposés sont alignés.