Résultat utilisé : le symétrique d'un foyer par rapport à une tangente appartient au cercle directeur associé, dont le second foyer est le centre.

Si vous ne l'avez pas sur votre disque, pour réaliser vous même les expérimentations ou construire la figure, vous aurez besoin de :

La macro Conique par Foyer et Cercle directeur (fichier CnkFC1.mac).
La macro Conique par 2 Foyers et 1 Tangente (fichier Cnk2F1Tg.mac).

On cherche donc à construire le lieu du second foyer F' d'une conique dont on connaît son premier foyer F, une tangente T et un point A.

Approche expérimentale

Proposons nous de construire un second foyer F' comme centre du cercle directeur associé au foyer F pour une conique de foyer F passant par A et admettant T pour tangente : On peut construire une tangente à la conique en A. Pour cela, on peut partir d'un point I du cercle de diamètre [AF]. Dire que (IA) est tangente en A à la conique revient à dire que le symétrique M de F par rapport à (IA) appartient au cercle directeur associé à F, donc que le second foyer F' de la conique est sur la droite (AM). Par ailleurs, puisque T est aussi une tangente, le symétrique N de F par rapport à la droite T appartient alors à ce même cercle directeur , et son centre F' est aussi sur la médiatrice de [MN]. On construit ainsi F' et la conique par l'une des deux macros ci-dessus. ExLieu01.fig

Cas où la conique est une hyperbole

Pour expérimenter sur le lieu de F', il suffit de faire son lieu quand I décrit le cercle de diamètre [AF] :   On obtient une conique, qui est manifestement elle aussi tangente à la droite T et qui semble avoir les points A et N comme foyers.

D'une manière générale, on peut obtenir deux coniques de foyer F et F' de types différents, selon la position de I comme l'illustre cet exemple.

Renforcement des conjectures : pour étudier le lieu, on peut construire, par la macro d'introduction, la conique de foyers A et N et de tangente T. On constatera qu'elle recouvre bien le lieu. On remarquera aussi que le cercle de centre le milieu de [AN] et de diamètre [AF] est manifestement le cercle principal du lieu-conique.

Avant d'aborder une preuve des conjectures, il est trés intéressant d'étudier la nature de la conique de foyers F et F'. Disponible également dans une autre page pour avoir les deux à l'écran. En résumé, on montre (trés simplement) que :

Si A et F sont d'un même côté de la tangente T, la conique est soit une ellipse, soit une hyperbole, et dans ce cas M est toujours entre A et F'.
Si A et F sont de part et d'autre de la tangente, la conique est toujours une hyperbole, et c'est alors F' qui est toujours entre M et A.

Preuve des conjectures

ExLieu03.fig

Si F et A sont de part et d'autre de la tangente T On a vu que F' est entre M et A. On a alors : AM = AF, une constante de la figure F'M = F'N = rayon du cercle directeur D'où F'A + F'N = AF, soit F' appartient à l'ellipse de foyer N, de cercle directeur associé le cercle de centre A passant par F. Ce qui prouve que T, médiatrice de [FN], est aussi tangente à cette ellipse.

Si F et A sont d'un même côté de la tangente T On a toujours les deux égalités : AM = AF, une constante de la figure F'M = F'N = rayon du cercle directeur On a vu que, si la conique est une ellipse, A est entre M et F', soit F'M = F'A + AM. On a alors : F'N - F'A = AF (on est sur une branche d'hyperbole)

Si la conique est une hyperbole, on a vu que M est toujours entre A et F', soit : F'M + MA = F'A ce qui s'écrit aussi : F'A - F'N = AF (on est sur l'autre branche de la même hyperbole) Dans les deux cas, F' appartient à l'hyperbole de foyer N, de cercle directeur associé le cercle de centre A passant par F. Ce qui prouve que T, médiatrice de [FN], est aussi tangente à cette hyperbole.

Dans tous les cas, le lieu est la conique, tangente à T et de foyers A et le symétrique N de F par rapport à la tangente T. Elle est ainsi entièrement définie.

On peut préciser que c'est une ellipse si et seulement si F et A sont de part et d'autre de T.

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