Propriété des plans "en vraie grandeur"
Solution de Christian Camalon

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Rappel de ce que l'on veut montrer

 

On a déjà présenté à la page Plans en Vraie Grandeur qu'il existe une autre direction de plans que celle du plan frontal pour laquelle les objets sont en vraie grandeur en perspective cavalière.

Or on peut faire la remarque suivante :

Quelque soit la perspective cavalière (ci-contre déplacer le point D), quand on construit le plan des objets en vraie grandeur passant par I, l'arête de la fuyante (FG) est toujours orthogonale à l'arête du plan frontal (IK). Ou encore sur le dessin en PC de la figure, la fuyante (FG) est une hauteur de IJK.

La figure PlanVGPb.fig d'expérimentation

La preuve proposée par Christian Camalon se situe dans un cadre plus large, et la propriété cherchée devient - enfin pour lui - un simple sous-produit de ses réflexions.

Cette page reprend ses notations, exposées déjà dans la présentation générale.

 

Introduction

Soit p une projection sur un plan Q parallèlement à une droite D (non parallèle au plan Q). Toute figure de l'espace contenue dans un plan parallèle au plan Q - c'est bien connu - sera projetée en vraie grandeur, mais la réciproque - et c'est moins bien connu - est (en général) fausse. Plus précisément, dans le cas où la droite D n'est pas orthogonale au plan Q - et seulement dans ce cas , il existe une deuxième direction de plans dont les figures seront projetées en vraie grandeur.

Il est clair qu'un plan possède cette propriété si et seulement si ce dernier contient au moins un triangle (et à fortiori un cercle) qui soit projeté en vraie grandeur. Le problème se ramène donc à rechercher les cercles qui sont projetés en vraie grandeur, c'est à dire suivant des cercles de même rayon.

Résultat général

 

Soit C un cercle de plan Q, P un plan orthogonal à la droite D, C' l'image de C dans la réflexion S de plan P (les deux cercles C et C' ont donc même rayon), toute droite parallèle à D (c'est à dire perpendiculaire au plan P) passant par un point M' de C' est globalement invariante par S et repasse donc par le point M=S(M') du cercle C=S(C'). Autrement dit le cercle C' se projette selon le cercle C - qui est de même rayon, donc en vraie grandeur. Or le plan du cercle C', c'est à dire Q' = S(Q), est parallèle au plan Q si et seulement si ils sont tous les deux parallèles au plan P, c'est à dire orthogonaux à la droite D.

Les "fuyantes" sont perpendiculaires ...

 

Supposons à présent que la direction de la projection ne soit pas orthogonale, et plaçons nous dans ce contexte de projection en vraie grandeur. Soit alors d la droite d'intersection des plans Q, Q' et P (voir illustration ci-dessus)

Les droites perpendiculaires au plan Q seront alors projetées suivant des droites (puisqu'elles ne sont pas parallèles à D), qui seront de plus parallèles. Montrons que ces "fuyantes" sont perpendiculaires à la droite d'intersection d des plans Q, Q' et P. En effet, menons par un point A de la droite D, une perpendiculaire q au plan Q. Le plan R, défini par les droites D et q (sécantes en A), coupe le plan Q suivant une droite q' qui n'est autre que le projeté de la droite q.

Comme la droite d est orthogonale à la droite D (car d est contenue dans P) et à la droite q (car d est contenue dans Q), elle est par conséquent orthogonale au plan R, donc à la droite q' qui est contenue dan ce plan. Ce qu'il fallait prouver.

ChVG02.fig (ne sert que pour illustration ...)

Retour au problème initial (interprétation du théorème précédent)

 

Etant donné un cube, représenté en PC, avec une face parallèle au plan de projection (la direction de la perspective n'étant pas orthogonale au plan de projection), on peut toujours couper ce cube par un plan (non parallèle au plan de projection) de sorte que la section ainsi obtenue soit en vg sur le dessin en PC. De plus, un tel plan coupera forcément au moins une des faces du cube parallèles au plan de projection suivant une droite (orthogonale à la direction de la perspective) qui sera représentée sur le dessin en PC par une droite orthogonale aux fuyantes.

 

ChVG03.fig

Autre problème connexe

On a posé un cerceau au fond d'une salle (il est appuyé contre les deux murs verticaux et le sol), qu'on veut représenter en PC (le plan de projection étant celui d'un des deux murs). Pour une direction de perspective donnée, peut-on choisir la position du cerceau (et inversement pour une position donnée du cerceau peut-on choisir la direction de la perspective), de sorte que le cerceau soit représenté par un cercle sur le dessin ?

ChVG04.fig (lire ses instructions)

 

Christian Camalon - Lycée de Saint André
La Réunion - Pour abraCAdaBRI

 

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