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Plans d'objets en vraie grandeur en perspective cavalière

 

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On s'intéresse ici, dans le cadre de la perspective cavalière, à l'existence d'une direction de plans, autre que celle du plan frontal, pour laquelle tous les objets sont en vraie grandeur.

 

Approche expérimentale sur Cabri (sur une idée d'Eric Hakenholz)

 

En construisant une représentation en vraie grandeur d'une section triangulaire d'un cube, on cherche à faire coïncider les deux triangles, celui en vraie grandeur, et celui en perspective cavalière. Voici les 4 étapes décrites ci-contre :

PlanVG.fig
 

La problèmatique - Preuve du résultat

Sur le dessin ci-dessus, la face ABFE est en vraie grandeur, donc le segment [IK] aussi. Le point J étant dans un autre plan, à priori, IJ et JK ne sont pas - et beaucoup de manuels scolaires disent ne peuvent pas être - en vraie grandeur pour la perspective cavalière définie implicitement par la donnée du cube.
On se propose ici de construire un triangle IJK tel que les longueurs IJ et JK soient en même temps les longueurs de ces segments en vraie grandeur.

Par des arguments de prolongement d'applications isométriques définies sur un repère affine, il en résultera que tout dessin dans ce plan est en vraie grandeur.

  

1 - Analyse de la situation

Un rotation d'un quart de tour autour de la droite (FE) envoie J sur J', intersection de la droite (FB) avec la parallèle à (BG) passant par J. LA mesure de [IJ'] est donc celle de [IJ] en vraie grandeur.

[IJ] sera donc en vraie grandeur si et seulement si IJ'=IJ, c'est-à-dire ssi IJJ' est un triangle isocèle.

 

2 - Construction de J solution

La hauteur de ce triangle (cherché) issue de I est la perpendiculaire (sur le dessin) à (BG) passant par I. Cette droite D doit donc être médiatrice de [JJ']. On obtient donc J par l'intersection de la droite (FG) avec l'image (F'B') de (FB) dans la symétrie d'axe D.

Cette intersection J existe toujours et est unique. Si J n'est pas sur le segment [FG] pour une perspective cavalière donnée, une translation de plan en déplaçant I l'y ramène.

3 - Vérification expérimentale

En mesurant les segments [IJ] et [IJ'] sur le dessin, on voit qu'ils ont même longueur : [IJ] est donc un segment d'un plan non frontal qui est en vraie grandeur.

PlanVG1.fig (état ci-dessus)

 

On vérifie expérimentalement que IJ = IJ'.

Construction du triangle en vraie grandeur

I et J étant connus, la parallèle à (EG) passant par J coupe (CD) en un point K' qui est la rotation de J d'un quart de tour autour de l'axe (BF). Et donc pour tout point K de (BF), KK' est la longueur de [KJ] en vraie grandeur.

Il en résulte que la médiatrice de [JK'] coupe la droite (BF) au seul point K pour lequel KJ est longueur en vraie grandeur du segment [KJ] (non il n'y a pas d'erreur de frappe).

On vient donc de construire un triangle IJK tel que ses côtés sont, sur le dessin, en vraie grandeur, alors que le plan (IJK) n'est pas parallèle au plan frontal.
Il est clair par ailleurs, par construction des points J et K, qu'un déplacement de I sur la droite (EF) donne un plan (IJK) parallèle à une direction fixe.

Pour une perspective cavalière donnée, il n'y a donc qu'une seule autre direction de plan que celle du plan frontal pour laquelle les objets sont en vraie grandeur.

PlanVG2.fig (ci-contre)

Point de vue plus général (proposé par Christian Camalon)

Soit p une projection sur un plan Q parallèlement à une droite D (non parallèle au plan Q). Toute figure de l'espace contenue dans un plan parallèle au plan Q - c'est bien connu - sera projetée en vraie grandeur, mais la réciproque - et c'est moins bien connu - est (en général) fausse. Plus précisément, dans le cas où la droite D n'est pas orthogonale au plan Q - et seulement dans ce cas , il existe une deuxième direction de plans dont les figures seront projetées en vraie grandeur.

Il est clair qu'un plan possède cette propriété si et seulement si ce dernier contient au moins un triangle (et à fortiori un cercle) qui soit projeté en vraie grandeur. Le problème se ramène donc à rechercher les cercles qui sont projetés en vraie grandeur, c'est à dire suivant des cercles de même rayon.

ChVG01.fig (ne sert que pour illustration ...)

Soit C un cercle de plan Q, P un plan orthogonal à la droite D, C' l'image de C dans la réflexion S de plan P (les deux cercles C et C' ont donc même rayon), toute droite parallèle à D (c'est à dire perpendiculaire au plan P) passant par un point M' de C' est globalement invariante par S et repasse donc par le point M=S(M') du cercle C=S(C'). Autrement dit le cercle C' se projette selon le cercle C - qui est de même rayon, donc en vraie grandeur. Or le plan du cercle C', c'est à dire Q' = S(Q), est parallèle au plan Q si et seulement si ils sont tous les deux parallèles au plan P, c'est à dire orthogonaux à la droite D.

Ainsi lorsque la projection p n'est pas orthogonale, il existe bien une deuxième direction de plans dont les objets sont projetés en vraie grandeur.

Il est alors facile de voir que seuls les plans parallèles à Q et leurs images par la réflexion S possèdent cette propriété.

Autre point de vue

Cette propriété de la projection parallèle devient évidente si on change de point de vue. En effet, on vient seulement de re-découvrir, qu'il existe exactement deux façons (resp. une seule façon) de couper un cylindre oblique (resp. un cylindre droit) à base circulaire par un plan, si on veut obtenir une section circulaire (ces sections étant toutes - forcément - de même rayon).

 

Une propriété de la section en vraie grandeur (autre remarque de Eric Hakenholz)

 

 

 

Quelque soit la perspective cavalière (ci-contre déplacer le point D), quand on construit le plan des objets en vraie grandeur passant par I, l'arête de la fuyante (FG) est toujours orthogonale à l'arête du plan frontal (IK). Ou encore sur le dessin en PC de la figure, la fuyante (FG) est une hauteur de IJK.

Un joli exercice de géométrie dans l'espace. Il est, n'est-il pas ?

PlanVGPb.fig pour expérimentation

 

Solutions de

Daniel Courounadin

ou de

Christian Camalon (avec application)

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