Propriété des plans "en vraie grandeur"
Solution de Daniel Courounadin

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Rappel de ce que l'on veut montrer

 

On a déjà présenté à la page Plans en Vraie Grandeur qu'il existe une autre direction de plans que celle du plan frontal pour laquelle les objets sont en vraie grandeur en perspective cavalière.

Or on peut faire la remarque suivante :

Quelque soit la perspective cavalière (ci-contre déplacer le point D), quand on construit le plan des objets en vraie grandeur passant par I, l'arête de la fuyante (FG) est toujours orthogonale à l'arête du plan frontal (IK). Ou encore sur le dessin en PC de la figure, la fuyante (FG) est une hauteur de IJK.

Lancer la figure PlanVGPb.fig d'expérimentation

La preuve proposée par Daniel Courounadin se situe dans le cadre concret de cet exercice. Elle est peut-être d'un accés plus rapide que la démarche de Christian Camalon, plus générale.

 

Notations

On considère donc un cube ABC'D'EFG'H' que l'on projète dans le plan ABFE suivant une direction Dp. A, B, F et E restent invariant, C', D', H' et G' se transforme en C, D, H et G.

Cette direction Dp est telle que la section IJ'K du cube apparait dans cette perspective (triangle IJK) en vraie grandeur.

Introduisons le point O pied de la hauteur du triangle IJ'K issue de J'.

 

1 - Montrons que (IK) est orthogonale à Dp

 

Ci contre, une vue du dessus

 

Le segment [IJ] étant la représentation en vraie grandeur de [IJ'] on a IJ=IJ'.

Donc I appartient au plan médiateur de [JJ'].

De même KJ étant la représentation en vraie grandeur de [KJ'] on a KJ=KJ'.

Donc K appartient aussi au plan médiateur de [JJ'].

(IK) étant une droite du plan médiateur de [JJ'], (IK) est orthogonale à (JJ') donc à Dp.

2 - Montrons que (IK) est perpendiculaire au plan (OFJ')

(J'F) est orthogonale au droites (FI) et (FK) donc est orthogonale au plan (IFK) et en particulier à la droite (IK) contenue dans ce plan.

De plus par définition de O, (J'O) est orthogonale à (IK).

(IK) étant orthogonale aux droites (J'O) et (J'F) elle est orthogonale au plan (OFJ')

 

3 - O, F et J sont alignés et (FJ) est orthogonale à (IK)

D'après 2) le plan (OFJ') est orthogonal à (IK) qui est lui même orthogonale à Dp d'après 1), donc le plan (OFJ') est parallèle à Dp. La projection de (OFJ') parallèlement à Dp est alors une droite.

Les droites (FJ') et (OJ') appartenant à ce plan, leurs projetés (FJ) et (OJ) sont confondues.

Tous les segments du plan (IJ'K) apparaissant en vraie grandeur dans la PC, les perpendiculaires de ce plan apparaissent aussi comme perpendiculaires dans la PC donc (OJ) est perpendiculaire à (IK), et donc (FJ) est perpendiculaire à (IK). CQFD

 

Daniel Courounadin - Collège du Chaudron
La Réunion - Pour abraCAdaBRI
Son site (activités mathématiques interactives - en Java - pour le collège - A visiter !!!)

 

Autre page de Daniel dans abraCAdaBRI : Mouvement de planètes

 

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