Modèle hyperbolique de Poincaré
III. Cercle et distance

III.2 - Construction du cercle hyperbolique

[III.1. Approche expérimentale du cercle] [III.3 - Médiatrice, milieu ...] [III.4 - Horocycles] [III.5 - Tangentes] [III.6 - Premières utilisations]

[I. Introduction] [II. Les droites] [IV. Les angles] [V. Constructions] [VI. Exercices]

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Cette page propose une construction Cabri-robuste du cercle hyperbolique. Pour cela, nous allons encore effectuer quelques observations. Puis nous confronterons notre résultat à la théorie de ce modèle de Poincaré.

Pour réaliser les figures ci-dessous, vous aurez besoin de la macro IntHoriz.mac (Intérieur à l'horizon)

Première construction du cercle hyperbolique

Rappel des conclusions de la partie expérimentale

Le cercle hyperbolique de centre O passant par A est le cercle euclidien de centre I passant par A où I est à l'intersection :

- De la droite des centres (HO)

- De la tangente en A au cercle support de la droite hyperbolique (AO).

HCrcl03.fig

Il n'est pas nécessaire de construire le cercle support de la droite hyperbolique, son centre suffit, la construction devient alors celle- ci :

- Commençons par travailler sur les points OInt et AInt sous O et A qui attestent que ces points sont bien à l'intérieur du disque horizon (utiliser la macro IntHoriz.mac ).

- Si A' est l'inverse de A, le point U est l'intersection des médiatrices de [OInt AInt] et de [AInt A'].

- La droite (HO) et la perpendiculaire en A à [UA] se coupent au centre du cercle.

HCrcl04.fig

Les limites de cette construction

Deux limites à cette construction :

- Quand H, O, A sont alignés, les deux médiatrices sont parallèles. La perpendiculaire à [UA] en A n'existe plus.

Remarque : par ailleurs, si on construit un cercle de centre U passant par A il continue d'exister par passage de son centre à l'infini, comme on l'a vu pour le cas des droites hyperboliques qui devienntent les diamètres de l'horizon, mais ce n'est pas le cas des segments.

- La construction n'existe plus si O est en H, la droite (OH) n'existant plus.

Une observation plus fine de la figure

Jean Marie Laborde observe alors le lieu de U quand A se déplace dans le disque horizon : on l'obtient en faisant la trace de U et en déplaçant A manuellement.

On commence à avoir maintenant un peu l'habitude pour "sentir" que cette droite n'est autre que la médiatrice de [OO'] où O' est l'inverse de O par rapport à l'horizon.

On vérifie facilement que c'est vrai. Alors, en plaçant A - de manière perceptive - pour que U viennent en K (ci-dessous), on remarque que A vient sur ce cercle de diamètre [OO'].

Cela signifie aussi que le cercle hyperbolique cherché est aussi le cercle centré sur (OH) orthogonal à ce cercle de diamètre [OO'], ou encore que I est sur la médiatrice [AA"] où A" est l'inverse de A par rapport à ce cercle

HCrcl05.fig

Construction robuste du cercle hyperbolique

Aprés avoir construit OInt et AInt par la macro , on construit le cercle C de diamètre [OO'] où O' est l'inverse de OInt par rapport à l'horizon. On construit alors ensuite :

- A" l'inverse de AInt par rapport au cercle C.

- Plutôt que de prendre la médiatrice de [AA"] - qui pourrait ne pas exister si A = A", on prend le milieu J des deux points et la droite perpendiculaire en J à la droite (JK) - droite car les segments de longueur infinie n'existent pas. On sait que le centre I cherché est sur cette droite.

- Parce que la droite (HO) n'existe pas si O est en H, on peut prendre à la place la droite (O'H).

HCrcl06.fig ou CercleH.mac

Tests de robustesse de la construction et passages à l'infini

On vérifie que si H, O, et A sont alignés le cercle hyperbolique existe (bien ci-contre à gauche)

De même, on peut construire le cercle hyperbolique de centre H passant par A (ci-contre à droite). Il est alors confondu avec le cenrcle euclidien de même centre.

Point à l'infini

Le lieu des points à la distance infinie de O est le cercle horizon, la construction fonctionne aussi dans le cas où A est un point idéal (à gauche).

Centre à l'infini

Quand O devient un point idéal, la construction fonctionne encore (à droite), on obtient une courbe particulière qui prend le nom d'horocycle (voir aussi page 4).

Distance du modèle hyperbolique de Poincaré

Pour faire la construction, on a besoin de la macro
DrtHypG.mac (droite hyperbolique générale)

La distance hyperbolique est donné par la relation ci-contre (voir aussi la partie VII)

A et B étant donnés, on construit la droite hyperbolique. Les points U et V existent donc toujours. Puis, à la calculatrice, on construit, comme ci-contre, un nombre d(A,B).

La figure peut alors se transformer en macro, avec pour objet initiaux A, B et l'horizon et pour objet final le nombre "distance hyperbolique" (attnention à ne prendre bien que le nombre, pas le commentaire).

Cette macro s'applique ainsi à deux points quelconques.

HCrcl07.fig

DistHyp.mac

Deux utilisations immédiates

Le cercle obtenu est bien la ligne de niveau OM = OA

HCrcl08.fig

Construction du'un triangle équilatéral
et vérification numérique

HCrcl09.fig

[III.1. Approche expérimentale du cercle] [III.3 - Médiatrice, milieu ...] [III.4 - Horocycles] [III.5 - Tangentes] [III.6 - Premières utilisations]

[I. Introduction] [II. Les droites] [IV. Les angles] [V. Constructions] [VI. Exercices]

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III.2 - Construction du cercle hyperbolique

Cette page propose une construction Cabri-robuste du cercle hyperbolique. Pour cela, nous allons encore effectuer quelques observations. Puis nous confronterons notre résultat à la théorie de ce modèle de Poincaré.

Pour réaliser les figures ci-dessous, vous aurez besoin de la macro IntHoriz.mac (Intérieur à l'horizon)

Première construction du cercle hyperbolique

Rappel des conclusions de la partie expérimentale

Le cercle hyperbolique de centre O passant par A est le cercle euclidien de centre I passant par A où I est à l'intersection :

- De la droite des centres (HO)

- De la tangente en A au cercle support de la droite hyperbolique (AO).

Il n'est pas nécessaire de construire le cercle support de la droite hyperbolique, son centre suffit, la construction devient alors celle- ci :

- Commençons par travailler sur les points OInt et AInt sous O et A qui attestent que ces points sont bien à l'intérieur du disque horizon (utiliser la macro IntHoriz.mac ).

- Si A' est l'inverse de A, le point U est l'intersection des médiatrices de [OInt AInt] et de [AInt A'].

- La droite (HO) et la perpendiculaire en A à [UA] se coupent au centre du cercle.

Les limites de cette construction

Deux limites à cette construction :

- Quand H, O, A sont alignés, les deux médiatrices sont parallèles. La perpendiculaire à [UA] en A n'existe plus.

Remarque : par ailleurs, si on construit un cercle de centre U passant par A il continue d'exister par passage de son centre à l'infini, comme on l'a vu pour le cas des droites hyperboliques qui devienntent les diamètres de l'horizon, mais ce n'est pas le cas des segments.

- La construction n'existe plus si O est en H, la droite (OH) n'existant plus.

Une observation plus fine de la figure

Jean Marie Laborde observe alors le lieu de U quand A se déplace dans le disque horizon : on l'obtient en faisant la trace de U et en déplaçant A manuellement.

On commence à avoir maintenant un peu l'habitude pour "sentir" que cette droite n'est autre que la médiatrice de [OO'] où O' est l'inverse de O par rapport à l'horizon.

On vérifie facilement que c'est vrai. Alors, en plaçant A - de manière perceptive - pour que U viennent en K (ci-dessous), on remarque que A vient sur ce cercle de diamètre [OO'].

Cela signifie aussi que le cercle hyperbolique cherché est aussi le cercle centré sur (OH) orthogonal à ce cercle de diamètre [OO'], ou encore que I est sur la médiatrice [AA"] où A" est l'inverse de A par rapport à ce cercle

Construction robuste du cercle hyperbolique

Aprés avoir construit OInt et AInt par la macro , on construit le cercle C de diamètre [OO'] où O' est l'inverse de OInt par rapport à l'horizon. On construit alors ensuite :

- A" l'inverse de AInt par rapport au cercle C.

- Plutôt que de prendre la médiatrice de [AA"] - qui pourrait ne pas exister si A = A", on prend le milieu J des deux points et la droite perpendiculaire en J à la droite (JK) - droite car les segments de longueur infinie n'existent pas. On sait que le centre I cherché est sur cette droite.

- Parce que la droite (HO) n'existe pas si O est en H, on peut prendre à la place la droite (O'H).

Tests de robustesse de la construction et passages à l'infini

On vérifie que si H, O, et A sont alignés le cercle hyperbolique existe (bien ci-contre à gauche)

De même, on peut construire le cercle hyperbolique de centre H passant par A (ci-contre à droite). Il est alors confondu avec le cenrcle euclidien de même centre.

Point à l'infini

Le lieu des points à la distance infinie de O est le cercle horizon, la construction fonctionne aussi dans le cas où A est un point idéal (à gauche).

Centre à l'infini

Quand O devient un point idéal, la construction fonctionne encore (à droite), on obtient une courbe particulière qui prend le nom d'horocycle (voir aussi page 4).