Modèle hyperbolique de Poincaré
II.Droites et orthogonalité

II.2 - Propriétés d'incidence du plan hyperbolique

 

La page sera complétée pour prendre en compte l'axiomatique de Bachmann

 

[II.1. Droites et segments hyperboliques] [II.3 - Orthogonalité] [II.4 - Premiers exemples d'utilisation]
[I. Introduction] [III. Le cercle] [IV. Les angles] [V. Constructions] [VI. Exercices]

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Il s'agit dans cette page, d'observer le comportement de ce modèle hyperbolique sur les configurations fondamentales quant aux structures éventuelles sous-jacentes.

On sait que comme plan métrique, le plan hyperbolique de Poincaré n'est ni projectif ni affine. Toutefois, un plan métrique peut toujours être plongé dans un plan plan projectif (plan idéal associé). D'autre part le modèle de Klein du plan hyperbolique est projectif. Les configurations fondamentales d'incidence y sont vérifiées, elles le sont donc pour ce modèle. Voyons en trois : celles de Désargues, de Pappus, de Fano. C'est surtout l'occasion de premières manipulations sur les droites hyperboliques.

 

Le plan hyperbolique et la configuration de Désargue

 

Dans un contexte affine ou projectif, Artin a montré que la configuration de Désargues est équivalente à l'associativité de la multiplication et donc à la structure de corps des nombres construits par cette géométrie.

 

Desarg1.fig (PC) ou Desarg1M.fig (Mac)

 

Desarg2.fig (PC) ou Desarg2M.fig (Mac)

  

Le plan hyperbolique et la configuration de Pappus

 

Dans un plan arguésien, la configuration de Pappus est équivalente à la commutativité du corps des nombres.

PappusH.fig (PC) ou PappusHM.fig (Mac)

 

 

Le plan hyperbolique et la configuration de Fano

 

Quand un plan métrique est plongé dans son plan idéal projectif, il vérifie toujours la propriété de Fano : les trois points diagonaux d'un quadrangle (4 points) ne sont pas alignés.

Fano a montré que cette propriété est équivalente au fait que le corps construit soit de caractéristique différente de 2. On en déduit alors que le point L construit comme ci-dessous ne dépend que de A, B et I et est indépendant de C et D. 

 

  FanoH.fig (PC) ou FanoHM.fig (Mac)

 

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