Utilisation de l'outil "Puissance"
3 - Cercles tangents à deux cercles et passant par un point

 

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On considère deux cercles C et C' et un point A. On cherche à construire les cercles tangents à C et C' passant par A.

Pour faire les figures en temps réel, quelques macros de base vont être utiles, vous pouvez :

Charger la macro Centres d'homothétie de 2 cercles, et la macro Cercle circonscrit à 3 points simplement pour éviter de surcharger vos figures.

 

Observer une figure d'expérimentation

 

Pour le plaisir des yeux ...

Lancer la figure Exp2C1P.fig d'expérimentation et tester diverses situations ...

 

Analyse : 1 - la droite des points de contact passe par un des centres d'homothéties.

 

On se place dans la situation où l'on dispose de cercles solutions. Le premier, tangent aux deux cercles en P et Q l'est extérieurement à ces cercles, tandis que l'autre, tangent en R et S, l'est extérieurement pour un cercle et intérieurement pour l'autre.

Dans le premier cas, P et Q sont des centres d'homothéties qui échangent chaque cercle de l'hypothèse avec le cercle solution. La composée des homothéties correspondante est une homothétie de rapport positif - car les deux sont de rapport négatif, les cercles étant tangents extérieurement - qui échange C en C'. Soit I ce centre d'homothétie, I, P et Q sont donc alignés.

De même, en notant J le centre d'homothétie de rapport négatif des deux cercles C et C', alors R, J et S sont eux aussi alignés, car on a deux homothéties dont les rapports sont de signes différents (puisqu'il y a un contact intérieur et un extérieur) : leur composée est de rapport négatif.

Lancer la figure TC2C1Pa1.fig illustrant l'analyse ci-dessus.

On ne s'intéresse dans la suite de cette analyse que le cas du centre I, l'autre cas est identique et sera seulement repris dans la synthèse.

Remarque : Ce point I peut ne pas exister, si les deux cercles C et C' ont même rayon. On pourrait traiter ce cas particulier par une macro logique. Nous ne le ferons pas ici.

 

Analyse : 2 - La puissance de I par rapport au cercle solution est connue.

La droite des centres coupe le cercle C en M et N. Alors IM.IN est la puissance de I par rapport à C. Cette même droite coupe C' en M' et N' (dans le même ordre). Alors M' est l'homothétique de M dans l'homothétie de centre I qui transforme C en C'. Notons k son rapport (positif ici). Alors IM' = kIM donc le produit IN.IM' est constant, égal à k fois la puissance de I par rapport à C.

Or ce nombre c'est aussi IP.IQ car P et Q, sur C et C' ne peuvent être homothétiques, sinon les droites (OP) et (O'Q) seraient parallèles et ne pourraient se couper au centre du cercle cherché. Donc IN.IM' est la puissance de I par rapport à un cercle cherché (avec des contact de même nature pour C et C' : 2 fois extérieurement ou 2 fois intérieurement).

Remarque : En fait nous nageons en pleine inversion. Mais nous avons fait le choix - particulièrement dans ces pages sur la puissance d'un point par rapport à un cercle - de rester dans le cadre des programmes du CAPES et de ne pas utiliser des arguments d'inverion. 

Analyse : 3 - Construction d'un second point B sur le cercle cherché.

 

Il est alors trés simple d'avoir un second point du cercle cherché. Il suffit de considérer l'intersection de la droite (IA) avec le cercle circonscrit à N, M', A. Ce point B est cocyclique aux trois autres, comme il est sur (IA), il vérifie IA.IB = IN.IM', il appartient donc au cercle cherché.

Ayant un second point, on peut appliquer la macro déjà réalisée sur la construction des cercles tangents à un cercle donné passant par deux points donnés.

 

Synthèse

 

En plus des macros déjà citées en haut de cette page, pour la construction finale, il faut :

Charger la macro Cercles passant par 2 points et tangent à un cercle (fichier "TgtC2P1C.mac"). On peut aussi utiliser la macro Cont1C2P.mac qui va renvoyer les points de contact sur l'autre cercle que celui non utilisé (car Cabri a quelques problème de gestion des point de contact). Cette macro est déjà présente dans la figure précédente.

Etant donnés les deux cercles C et C' de centre O et O', on construit les centres d'homothétie I et J (par macro) et, sur la droite (OO') les points d'intersection de l'axe des centres (OO') avec les deux cercles M, N, M', N' tels que I, M, N, M', N' soient dans cet ordre. Pour orienter les droites correctement dans tous les cas de figure, utiliser l'item d'intersection de 2 objets (plutôt que de la faire "à la main").

Le cercle circonscrit à N, M' et A recoupe (IA) en un point B - voir la remarque ci-dessous - qui appartient aux cercles solutions tangents deux fois de la même façon (soit deux fois extérieurement, soit deux fois intérieurement). Par le même raisonnement le cercle circonscrit à M, M' et A recoupe (AJ) en un point B' qui appartient aux cercles solutions tangents une fois intérieurement et une fois extérieurement.

Remarque importante : ATTENTION à la Cabri-construction : B est l'autre point que A de l'intersection du cercle avec la droite (IA). Il est donc NECESSAIRE de prendre l'intersection du cercle et de la droite, puis le milieu des deux points d'intersection et de prendre pour B le symétrique de A par rapport à ce milieu.

 

La macro Cercle passant par deux points et tangent à un cercle ci-dessus donne donc en général 4 solutions.

Lancer la figure TC2C1PCn.fig avec les points de contact (voir ci-dessous). Sur cette figure, pour des transformations en macro, les contacts avec le cercle de centre O peuvent être supprimés. Les autres font partie de la construction.

Gestion des points de contact

À priori, les cercles devraient être "Cabri-tangents". Mais au moment où cette page a été réalisée (09/97), il subsistait des problèmes dans cette gestion. Un moyen de contrer ce petit bug a été d'une part de rendre les points de contact dans la macro utilisée, et faire une seconde macro Cont1C2P.mac qui ne renvoie que les points de contact : on applique la première à un cercle pour obtenir deux cercles et ses contacts sur le cercle cliqué, on applique la seconde à l'autre cercle pour avoir les contacts des cercles déjà tracés avec ce second cercle.

Cette attitude alourdit un peu les constructions, on propose donc dans la suite des macros qui donnent, au choix, les cercles sans les contacts ou avec, pour en optimiser l'utilisation : dans certains problèmes on n'a besoin que des centres des cercles, on prendra celles sans les contacts, dans d'autres on cherche les points de contact.

Les macros associées

 

Objets
finaux

Sans
contacts

Avec
Contacts

Tous les cercles solutions

CT2C1P.mac
CT2C1PCn.mac

Ceux avec contacts de même type

CTmT2C1P.mac
mT2C1PCn.mac

Ceux avec contacts de types différents

CTpT2C1P.mac
pT2C1PCn.mac

 

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