Axiomatique de Bachmann pour les plans métriques

2.c.3 - Preuve et illustration des théorèmes 1 et 2

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Sans illustration : Les conséquences immédiates (Théo 1 à 9) | Preuve Théo 1 à 5 | Preuve Théo 6 à 9

Avec illustrations CabriJava : Preuve des théorèmes : 1 et 2 | 3 et 4 | 5 | 6 et 7 | 8 | 9

 

Th 1 : Soient deux droites distinctes a et b, telles que P | a, b et a | b alors P = ab et réciproquement.

Sens direct

ab est un point Q tel que Q | a, b car aQ = b d'ordre 2 et Qb = a d'ordre 2.

On a donc P, Q | a, b et a différent de b. Donc par l'axiome 2, il en résulte P = Q.

Sens réciproque

Si P = ab, alors a | b et aP = b est d'ordre 2 donc P | a et de même Pb = a d'ordre 2 d'où P | b.
  
Pendant l'animation, vous pouvez déplacer M ou la droite a.

 

Th 2 : Soient a, b, c trois droites. Alors abc = 1 ssi (a | b et a | c et b | c)

Le sens direct a déjà été vu dans la présentation des axiomes - à la partie incidence. Réciproquement, si les droites sont deux à deux orthogonales, c'est-à-dire (ab)2 = (ac)2 = (cb)2 = 1 alors (abc)2 = 1. Soit abc = 1 soit abc est différent de 1. On veut montrer la première alternative.

Plaçons dans le second cas pour montrer une contradiction. Notons C =ab, c'est un point car a et b sont orthogonales et de plus C n'est pas le pôle de c - ou encore C n'est pas égal à c) car abc est ici supposé différent de 1. abc étant involutive, on a ab | c et donc C I c (car C n'est pas égal à c). Par ailleurs C = ab | b donc C est aussi incident à b.

Nous sommes donc dans la situation où C est incidente à b et à c, avec b et c orthogonales. D'aprés le théorème 1, C = bc. Autrement dit ab = bc, et donc a = c, ce qui est contradictoire avec le fait que les droites a et c sont orthogonales : a | c.

  
Prendre le temps d'effectuer les manipulation proposées dans les 3 cas ...

 

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