Axiomatique de Bachmann pour les plans métriques

Plan détaillé de la présentation

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1. Introduction

1.a. Contexte historique et objectif

1.b. Vocabulaire et illustrations

Complément sur "interprétation et modèle"

Exemple d'une structure affine dans laquelle les droites sont des paraboles euclidiennes

1.c. Lecture algébrique des propriétés euclidiennes

2. Présentation des axiomes

2.a. Présentation algébrique des axiomes d'incidence et de symétries

2.b. Présentation géométrique de l'axiomatique de Bachmann

Modèle minimal : droites - orthogonalité - rectangles

Modèle minimal : les symétries axiales et centrales

2.c. Premières conséquences (page de résumé sans illustration)

2.c.1. Preuve des théorème 1 à 5 sans illustrations

2.c.2. Preuve des théorème 6 à 9 sans illustrations

2.c.3. Preuve des théorème 1 et 2 avec illustrations (généralités sur l'orthogonalité)

2.c.4. Preuve des théorème 1 et 2 avec illustrations (perpendiculaires)

2.c.5. Preuve du théorème 5 avec illustrations (il existe 3 points distincts sur une droite)

2.c.6. Preuve des théorème 6 et 7 avec illustrations (compléments aux axiomes 3 et 4)

2.c.7. Preuve du théorème 8 avec illustrations (réciproque de l'axiome 3)

2.c.8. Preuve du théorème 9 avec illustrations (réciproque de l'axiome 4)

 

3. Le théorème fondamental des plans métriques (Théorème de HJELMSLEV)

3.a. Résumé des théorèmes

3.b. Preuve des théorèmes (sans illustration dynamique)

3.b.1 Preuve avec illustration du Th 10 : CNS pour que AbC soit une droite (Illust. hyperbolique)

3.b.1.2 Illustration du Th 10 dans le cas elliptique

3.b.2. Preuve avec illustration du Th 11 : CNS pour que aBc soit un point (Illust. hyperbolique)

3.b.2.2 Illustration du Th 11 dans le cas elliptique

3.b.3. Preuve et illustrations du théorème de Hjelmlev - Cas hyperbolique (Disque P)

1 figure - 8 situations
3.b.3.2 Idem dans le cas elliptique

3.b.3.3 Idem dans les autres modèles hyperboliques

3.c. Application : construction de la 4° réflexion - Cas hyperbolique (Disque P)

3.c.1. Idem dans le cas elliptique

3.c.2. Idem dans les autres modèles hyperboliques

3.d. Construction d'une droite d'un faisceau passant par un point - Cas hyperbolique (Disque P)

3.d.1. Idem dans les autres modèles hyperboliques

 

Suite du plan de dossier - non encore traité

 

4. Faisceaux et points remarquables dans un triangle ou un trilatère

4.a. Page de résumé (sans chargement de figures)

4.b. Les faisceaux usuels

4.b.1. Les médiatrices
4.b.2. Le théorème des milieux
4.b.3. Les bissectrices
4.b.4. Les hauteurs

4.c. Conséquences et exercices

4.c.1. L'isogonalité
4.c.2. Les points de Gergonne et de Nagel
4.c.3. Propriété métrique des cercles inscrits et exinscrits
4.c.4. La construction de Malfati

5. Anti-appariement dans les faisceaux

5.a. Le théorème de transitivité et ses conséquences
5.b. Preuve du théorème
5.c. Anti-appariement et lemme des 9 droites
5.d. Théorème de Hjelmlev d'anti-appariement
5.e. Le théorème de Brianchon.
7.f. Brianchon et Pappus : une même figure et deux lectures

6. Les différents types de géométrie

6.a. Axiome polaire et géométrie elliptique
6.b. Axiome du rectangle et de connexion : géométrie eclidienne
6.c. Axiome hyperbolique etgéométriec hyperbolique

6.d. Classificaton des plans métriques

6.e. Axiome de géomérie affine
6.f. Axiome de géométrie projective.

7. Plongement projectif

7.a. Résumé
7.b. Demi-rotations
7.c. Points idéaux
7.d. Droites idéales
7.e. Algébrisation
7.f. Plongement projectif

 

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