Th 10 : AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C

Si A=C, AbA est une droite par conjugaison, et il existe toujours v | A, b : il suffit de chosir la (une) perpendiculaire à b incidente à A.

Si A et C sont deux points distincts, le cas particulier ci-dessus donne une indication : considérons la droite v incidente à A et B : par l'axiome 1, cette droite existe, on a v | A, B.
Notons alors c = Cv = vC (la droite orthogonale à v passant par C) et a = Av = vA la droite orthogonale à v passant par A. On a aussi A = av = va. On peut alors écrire : AbC = vabcv. Remarquons que les droites a et c sont distinctes car A et C sont distincts.

Si v | b, comme on a aussi a | v et c | v, par l'axiome 3 a, b, c sont en faisceau, il existe une droite d tel que abc = d, et par le complément de l'axiome 3, de plus d | v, c'est-à-dire vdv = d.
Autrement dit AbC = d soit AbC est une droite.

Si AbC est une droite, par conjugaison, vAbCv aussi et donc v(vabcv)v est une droite, soit abc est une droite. On a vu (partie Faisceau de la présentation des axiomes) qu'alors acb est aussi une droite. Or a | v et c |v avec a différent de c. Par le théorème 9, réciproque de l'axiome 4, b | v.

Complément au théorème 10 : Dans le cas où AbC est une droite d, et v une droite telle que v | A, b, C alors d | v.

Dans le cas où A et C sont distincts, le compément de l'axiome 4 appliqué à ce qui est ci-dessus suffit à assurer que d | v

Dans le cas où A = C, la droite d est AbA. Or si v | b, A, AbA | AvA par conservation de la relation | par isométrie. Or AvA = v donc d | v.