Axiomatique de Bachmann pour les plans métriques

 3 - Le théorème fondamental de Hjelmslev

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 Preuves ou illustrations en CabriJava du : Th 10 | Th 11 | Th Hjelmslev | d = abc | Droite de F(ab)

 

Préliminaires au théorème

En fait il s'agit d'une lecture algébrique que propose Bachmann du théorème fondamental des plans métriques, comme nous le verrons plus loin.

Les axiomes 3 et 4 portaient sur la composée de trois droites dans le cas des faisceaux à centre ou à axe. Il s'agit ici d'observer le produit de points et de droites, plus précisément de caractériser quand AbC est une droite et quand aBc est un point.

 

Th 10 : AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C

On retiendra en pratique - sauf cas bien particuliers - que AbC est une droite ssi (AC) est orthogonale à b.

Complément : Dans le cas où AbC est une droite d, et v une droite telle que v | A, b, C alors d | v.

 

Th. 11 : aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c

Là encore, on peut retenir d'une manière pratique que aBc est un point ssi B est sur la perpendiculaire commune à a et b.

Complément : Dans le cas où aBc est un point D, et v une droite telle que a, B, c | v, alors D | v. 

Page de preuves des théorèmes et constructions sans CabriJava

 

Le théorème de Hjelmslev

 

Ce théorème fondamental des plans métriques est une autre lecture du théorème 10.

Soient, a, a', b, c, c' cinq droites telles qu aa' = A, cc' = C, avec A et C distincts et telles que abc soit une droite d.
Alors a'bc' est une droite si et seulement si d | (AC).

Dans l'illustration (ici en .gif) euclidienne de faisceaux à centre, on peut vérifier abc = d soit ab = dc par les angles.

Voir des illustrations dynamiques CabriJava  dans les différents modèles hyperboliques | dans le modèle elliptique

 

Conséquences constructives

Outre un critère important (qu sera largement utilisé ultérieurement) pour que trois droites soient en faisceau, ce théorème donne une construction pratique de la quatrième droite d = abc produit de trois droites en faisceau. On en déduit la construction de la droite d'un faisceau donné passant par un point donné.

La quatrième réflexion

 

Principe de la construction dans Cabri

Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau.

Illustrée ci-contre dans le cas des faisceaux à centre dans le contexte euclidien, il convient de savoir construire la perpendiculaire à une droite donnée appartenant à un faisceau donné, ce qui ne pose aucxun porblème dans les modèles utilisés.

Voir cela en détail en CabriJava : pour les modèles hyperboliques | Pour le cas elliptique

 

Droite du faisceau F(ab) passant par un point M

Deux droites a' et c' (distinctes) étant données. Pour tout point P non incident à l'une d'elle, il existe une droite incidente à ce point appartenant au faisceau F(a'c').

 

Principe de la construction dans Cabri

a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc'.

Si A = C, alors A | c' et la droite A convient.
Si A et C sont distincts, soit d la (une) perpendiculaire à (AC) issue de P.Alors adc est une droite b passant par P et telle que abc = d. D'apés le théorème fondamental b est la droite cerchée car a'bc' est une droite.

Voir cela en détail en CabriJava : pour les modèles hyperboliques et elliptique

 

Page de preuves des théorèmes et constructions sans CabriJava

 Preuves ou illustrations en CabriJava du : Th 10 | Th 11 | Th Hjelmslev | d = abc | Droite de F(ab)

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