Pavages hyperboliques réguliers dans les modèles de Poincaré

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1 - Phase d'expérimentation dans les cas de pavages de carrés et d'hexagones

Si un polygone régulier est un polygone qui a tous ces côtés de même longueur et tous ses angles aux sommets égaux, on montre qu'alors il est inscriptible dans un cercle et que chaque côté est vu du centre sous un angle égal à 2Pi/n si n est le nombre de côtés.

La différence avec le cas euclidien tient dans le fait qu'en géométrie hyperbolique, il existe des carrés d'angle au sommet quelconque compris entre 0 et 90 degrés - exclus tous les deux, tout comme des hexagones ayant un angle au sommet compris entre 0 et 120 degrés - exlus.

Il en résulte - des détails de construction seront proposés dans abraCAdaBRI ultérieurement - que si on veut paver le plan hyperbolique de polygônes à n côtés, il y a toujours un pavage régulier avec p polygones autour de chaque sommet dès que 1/n + 1/p < 1/2.

Ainsi on peut paver le plan avec :

• des carrés, à partir de 5 carrés autout de chaque sommet,
• des pentagones, à partir de 4 pentagones autour de chaque sommet,
• des hexagones à partir de 4 hexagones autour de chaque sommet.

C'est ce que l'on se propose d'observer dans les deux applets de cette page. Les constructions effectives des pavages étant proposées dans les autres pages.

Exemple avec des carrés

 Exemple avec des hexagones réguliers

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