Droites hyperboliques dans le modèle de Poincaré

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Droite passant par deux points

Etant donné deux points A et B du disque horizon, la droite hyperbolique de ce modèle est la trace sur le disque (ouvert) de l'unique cercle orthogonal à l'horizon, passant par ces deux points.

Expérimentation sur l'existence et l'unicité.

La figure : étant donné un point A, on construit le cercle orthogonal à l'horizon passant par A et par un point M de l'horizon, pour expérimentation. On dispose également d'un second point B et de la médiatrice de [AB]. Manipulations possibles : 1 - Observer dans un premier temps, qu'il y a en général deux positions de M qui réalisent la "droite hyperbolique (AB)" pour le cercle rose, mais qu'il y a bien q'une seule droite hyperbolique. 2 - Pour chercher un procédé de construction, on peut effectuer la trace de L et voir que ce point , quand M parcours l'horizon, décrit une droite, orthogonale à (OA). 3 - Effacer la trace de L et faire la trace du cercle rose. On s'aperçoit qu'il passe par un point fixe A'. Un peut calcul de "lignes de niveaux", montre que A' est l'inverse de A par rapport à l'horizon, et que le lieu de L est la médiatrice de [AA'], ce qui achève la construction de la droite hyperbolique (AB).

Détails techniques (dans abraCAdaBRI) pour une construction fonctionnant aussi à l'infini, c'est-à-dire sur les points de l'horizon.

Exemples de tracés.

Remarque : le chargement des figures montrera une richesse de Cabri qui n'est pas encore implémentée dans CabriJava : le nom de l'objet final d'une macro. Les droites sont "hyperboliques" de même que les segments, ou plus loin les perpendiculaires et les cercles.

Orthogonalité et perpendiculaire commune

Orthogonalité

Le modèle de Poincaré étant conforme (conservation des angles), l'orthogonalité se construit très simplement : une droite est orthogonale à une autre si elle est portée par un cercle orthogonal au cercle support de la droite - ou du segment - hyperbolique. C'est aussi une droite hyperbolique, d'où la construction.

Détail sur les améliorations nécessaires pour que la construction fonctionne aux cas limites (points sur la droite ou à l'infini sur l'horizon)

Manipulation possible : on peut vérifier un théorème usuel de géométrie euclidienne : Deux droites orthogonales à une même troisième sont soit sans point commun soit confondues. Pour cela déplacer I pour voir que la perpendiculaire à (AB) passant par I est sans point commun avec celle pasant par M, sauf si les deux droites sont condondues. Autrement dit, la droite (AB) est une perpendiculaire commune aux deux autres droites non sécantes. On sait qu'en géométrie euclidienne les droites non sécantes sont parallèles et qu'il y a une infinité de perpendiculaires communes à deux droites parallèles. Qu'en-est-il en géométrie hyperbolique ?

Expérimentation sur l'existence et l'unicité de la perpendiculaire commune à deux droites

Construction de la perpendiculaire commune à deux droites

L'unicité signifie que les rectangles (quadrilatères à 4 angles droits) n'existent pas en géométrie hyperbolique. En fait c'est une caractéristique de la géométrie euclidienne.

Remarque : pour construire ces droites paralléles, il faut prendre une droite passant par un point à l'infini, d'où l'intérêt, dans les constructions, que les macros hyperboliques fonctionnent aussi sur les points idéaux.

Droites parallèles

Les hauteurs d'un triangle

Remarque : si on télécharge la figure, on pourra observer, en cliquant sur la perpendiculaire commune à deux hauteurs, qu'en fait il y en a deux et qu'elles sont confondues. C'est une vérification de la notion de faisceau. CabriJava ne dispose pas de cette fonctionnalité.

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