4 - Premiers exercices de macros

[1 - Intérieur d'un objet]  [2 - Extérieur d'un objet] [3 - Position dans le plan ou sur la droite]

Si vous souhaitez faire les figures en direct, vous pourriez avoir besoin de

Charger les macros Ping-Pong et Intérieur Segment.

Exo 1 : dans le segment [AB[

 

Soit Int le point sous le point M qui rend compte que M est entre A et B au sens large obtenu par la macro Interieur Segment. On peut avoir besoin d'un point qui n'existe pas à l'une des extrémités du segment, disons B. On cherche dans à construire une macro Appartient au segment [AB[. Charger une figure de départ (mais on peut aussi la faire) Coup de pouce Solution

Exo 2 : Dans le segment ]AB[

  

On pourrait faire la même chose en A à partir de la figure précédente. Toutefois, il y a un procédé bien plus simple pour l'appartenance à un segment ouvert. On vous propose ici de chercher, toujours à partir d'un point M sur objet d'une droite (AB), à construire sous M un point Int qui n'existe que sur l'intérieur ]AB[, et ceci en un seul objet intermédiaire. Il suffit donc d'explorer les menus de Cabri ... Coup de pouce Solution

Exo 3 : Egalité de deux points

 

Etant donnés deux point A et B on cherche à construire un point sur l'un des deux qui n'existe que quand ces points sont confondus. Pour cela, on utilisera un troisième point O dont on sait qu'il n'est jamais confondu - pour l'application de la macro qui en résulte - avec l'un de ces deux points. On dispose donc de trois points de base O, A et B. Et on veut renvoyer un point A=B qui n'existe que si A et B sont confondus.   Coup de pouce Solution

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Premiers exos de macros

Les coups de pouce

Coup de pouce de l'exo 1 : dans le segment [AB[

Il faut trouver un critère qui n'existe que si Int n'est pas en B, soit un objet géométrique qui n'est pas défini quand les points sont confondus : on peut trouver une construction en un seul objet intermédiaire !

Retour Exo 1

Coup de pouce de l'exo 2 : dans le segment ]AB[

La demande de coup de pouce relève ici de ce coup de fil au vieux sage ..

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Retour Exo 2

Coup de pouce de l'exo 3 : Egalité de deux points

Une suggestion : utiliser deux fois la macro Intérieur Segment ordinaire, dans des situations bien choisies pour que le point construit par la seconde application de la macro n'existe que quand A et B sont confondus.

Retour Exo 3

Premiers exos de macros
Les solutions

Solution de l'exo 1 : dans le segment [AB[

On a déjà dit qu'il fallait construire un objet géométrique qui n'est pas défini quand les points sont confondus : on peut penser à la médiatrice de B et Int, elle n'existe que si les points sont distincts. Alors le symétrique de B par rapport à cette droite est bien le point cherché, sous M, qui n'existe que si M appartient au segment semi-ouvert [AB[.

On notera qu'en pratique cette macro (et la suivante) ne sont réellement utiles que pour des droites horizontales ou verticales (ou encore de pente +1 ou -1), sinon, il y a ssez peu de chance pour qu'un point sur objet d'une droite quelconque ait les même coordonnées - donc soit confondu - avec un point définissant la droite ou construit sur cette droite.

Charger la macro Dans Segment [AB[

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Solution de l'exo 2 : dans le segment ]AB[

L'item Cabri est bien-sûr la bissectrice de l'angle AMB. La solution étant alors l'intersection de la droite (AB) et de cette bissectrice. En effet, si M est (strictement) entre A et B, l'angle existe et la bissectrice est la droite passant par M orthogonale à (AB). Donc l'intersection de ces deux droites existe, c'est un point sous M.
Quand M est en A ou en B, l'angle n'existe pas, donc la bissectrice non plus. Quand M est à l'extérieur du egment [AB], l'angle est nul, la bissectrice est confondue avec la droite, et l'intersection des deux, dans Cabri n'existe pas.
En définitive le point crée sous M dans le premier cas est donc caractéristique de l'appartenance au segment ouvert ]AB[.

Pendant un temps, on a pensé à abraCAdaBRI que l'intersection aurait dû être la droite (AB) car les deux droites sont confondues. Nous avions une version ensembliste de la géométrie, comme on l'enseigne à l'université. Mais Jean Marie Laborde et Roger Cuppens nous ont expliqué - à l'Université d'été de Juillet 96 - qu'en géométrie d'axiomatique euclidienne les droites sont des infinis potentiels et non pas des ensembles infinis de points. L'intersection n'existe que quand les droites se coupent, pas quand elles sont confondues.

Cette technique, que l'on appellera du basculement des bissectrices a été largement explorée par Eric Hakenholz dans les numéros papier d'abraCAdaBRI et ses applications seront peu à peu incorporées dans le Web, à la rubrique Hacker, mais aussi aux rubriques Collège et Lycée. Cette technique facilite grandement la gestion des liens de lieux de points et donne de la souplesse pour construire certains mécanismes expérimentaux du collège.

Charger la macro Dans Segment ouvert ]AB[

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Solution de l'exo 3 : égalité de deux points

 

Soit B' la projection de B sur (AO) et B'Int le point sous B qui n'existe que si B' est entre A et O. B'Int n'existe que si B est dans une bande délimitée par les perpendiculaires (comprises) à (AO) passant par A et O. Soit alors B" la projection de B'Int sur (BO) et A=B le point sous B qui n'existe que si B appartient au segment [B"Int O]. Il est clair que ce point n'existe que si B et B"Int sont confondus, et ceci n'est possible que si A et B sont confondus. Ce qui achéve la construction.

Cette construction est à priori définie sur des points de base. Elle peut être utile sur d'autres types de points, à condition qu'il existe effectivement des Cabri-possibilités que les points soient confondus. Par exemple un point sur objet d'une droite oblique a trés peu de chance de pouvoir être Cabri-confondu avec un des points de base définissant cette droite, même s'ils sont superposés à l'écran

Pour rendre compte de l'égalité, qui ne se voit pas facilement à cause du curseur main de Cabri, sur cette figure on a élargi le champ visuel en construisant une "cible" de cercles concentriques quand il y a égalité des deux points A et B. La figure PtsEgaux.fig. La macro PtsEgaux.mac

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